单位向量的定义、示例与转换方法

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将给出线性代数中单位向量的定义、示例与转换方法.

二、正文

§2.1 单位向量的定义

如果向量 $\mathbf{v} = \left( v_{1}, v_{2}, \dots, v_{n} \right)$ 的长度 $\left| \mathbf{v} \right|$ 等于 $1$, 那么，这个向量 $\mathbf{v}$ 就是一个单位向量，计算公式如下：

$$
\left| \mathbf{v} \right| = \sqrt{ v_{1}^{2} + v_{2}^{2} + \cdots + v_{n}^{2} }
$$

§2.2 单位向量的示例

$\textcolor{lightgreen}{\blacktriangleright}$ 在二维空间中，除了 $\left( 1, 0 \right)$ 和 $\left( 0, 1 \right)$, 还有其他很多单位向量，例如：

$$
\begin{aligned}
& \ \left( -1, 0 \right) \textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \sqrt{\left( -1 \right)^{2} + 0^{2}} = 1 \\ \\
& \ \left( 0, -1 \right) \textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \sqrt{0^{2} + \left( -1 \right)^{2}} = 1 \\ \\
& \ \left( \frac{3}{5}, \frac{4}{5} \right) \textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \sqrt{\left( \frac{3}{5} \right)^{2}+\left(\frac{4}{5} \right)^{2}} = \sqrt{\frac{9}{25}+\frac{16}{25}} = 1
\end{aligned}
$$

$\textcolor{lightgreen}{\blacktriangleright}$ 在三维空间中，除了 $\left( 1, 0, 0 \right)$, $\left( 0, 1, 0 \right)$, $\left( 0, 0, 1 \right)$, 还有其他很多单位向量，例如：

$$
\left(\frac{1}{\sqrt{3}}, \ \frac{1}{\sqrt{3}}, \ \frac{1}{\sqrt{3}}\right) \textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \sqrt{\left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right)^{2} + \left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right)^{2} + \left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right)^{2}} = \sqrt{ \frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3} } = 1
$$

§2.3 单位向量的转换方法

把非零向量除以它的长度，就可以将该非零向量转为单位向量，这个过程叫作单位化或归一化：

$$
\widehat{\mathbf{v}} = \frac{\mathbf{v}}{\left| \mathbf{v} \right|}
$$

例如，对于 $\mathbf{v} = \left( 3, 4 \right)$ 这个向量，其长度为：

$$
\left| \mathbf{v} \right| = \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = 5
$$

所以，其对应的单位向量为：

$$
\widehat{\mathbf{v}} = \frac{\left( 3, \ 4 \right)}{5} = \left(\frac{3}{5}, \ \frac{4}{5} \right)
$$

从上面的计算可以看出，单位化（归一化）只会改变向量的长度，不会改变向量的方向.

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