等价向量组及其性质

一、什么是等价向量组

在线性代数里，两个向量组等价，本质上是说，这两个向量组能互相线性表示——当然，这两个向量组必须要么都是行向量，要么都是列向量.

二、等价向量组的性质

§2.1 等价向量组的秩相等

如果向量组 $\boldsymbol{A}$ 可以由向量组 $\boldsymbol{B}$ 线性表示，那么：

$$
\mathbf{r} \left( \boldsymbol{A} \right) \leqslant \mathbf{r} \left( \boldsymbol{B} \right)
$$

反过来，如果向量组 $\boldsymbol{B}$ 可以由向量组 $\boldsymbol{A}$ 线性表示，那么：

$$
\mathbf{r} \left( \boldsymbol{B} \right) \leqslant \mathbf{r} \left( \boldsymbol{A} \right)
$$

当然，如果向量组 $\boldsymbol{A}$ 和向量组 $\boldsymbol{B}$ 可以互相线性表示（等价），则：

$$
\mathbf{r} \left( \boldsymbol{A} \right) = \mathbf{r} \left( \boldsymbol{B} \right)
$$

§2.2 等价向量组的极大无关组所含向量的个数相同

由于向量组的极大线性无关组的向量个数就是该向量组的秩，所以如果向量组 $\boldsymbol{A}$ 和向量组 $\boldsymbol{B}$ 等价，那么这两个向量组的极大无关组中向量的个数就一定相同.

§2.3 等价向量组不一定具有相同个数的向量

比如，对于下面的两个向量组 $\boldsymbol{A}$ 和 $\boldsymbol{B}$：

$$
\begin{aligned}
& \ \boldsymbol{A}: \ \boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2} \\ \\
& \ \boldsymbol{B}: \ \boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\boldsymbol{\alpha}_{1}+\boldsymbol{\alpha}_{2}
\end{aligned}
$$

分析可知，上面这两个向量组等价，因为，向量组 $\boldsymbol{B}$ 的第三个向量 $\boldsymbol{\alpha}_{1}+\boldsymbol{\alpha}_{2}$ 可以由其前两个向量线性表示.

但是，向量组 $\boldsymbol{A}$ 有 $2$ 个向量，向量组 $\boldsymbol{B}$ 有 $3$ 个向量，所以，等价不代表向量的数量一致.

§2.4 等价向量组的线性相关性不一定相同

对于向量组 $\boldsymbol{A}$:

$$
\boldsymbol{A}: \ \boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2}
$$

如果 $\boldsymbol{\alpha}_{1}$, $\boldsymbol{\alpha}_{2}$ 线性无关.

但是，对于下面的向量组 $\boldsymbol{B}$:

$$
\boldsymbol{B}: \ \boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\boldsymbol{\alpha}_{1}+\boldsymbol{\alpha}_{2}
$$

则向量组 $\boldsymbol{B}$ 一定线性相关.

因为，向量组 $\boldsymbol{B}$ 中的向量 $\boldsymbol{\alpha}_{1}+\boldsymbol{\alpha}_{2}$ 可以由其前两个向量 $\boldsymbol{\alpha}_{1}$ 和 $\boldsymbol{\alpha}_{2}$ 线性表示.

所以，虽然向量组 $\boldsymbol{A}$ 线性无关，向量组 $\boldsymbol{B}$ 线性相关，但这两个向量组仍然是等价向量组，因为这两个向量组可以互相线性表示.

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