一元函数一点处极限的性质之局部保序性

性质

设函数 $f \left(x\right)$、$g \left(x\right)$ 在点 $x_{{0}}$ 处的极限分别为 $A$ 和 $B$, 若 $A > B$, 则存在 $\delta > 0$, 使得当 $0 < \left|x – x_{{0}}\right| < \delta$ 时，下式成立：

$$
\textcolor{lightgreen}{
f \left(x\right) > g \left(x\right)
}
$$

性质的证明

设函数 $f \left(x\right)$ 与 $g \left(x\right)$ 在 $x_{{0}}$ 处的极限分别为 $A$ 和 $B$, 取 $\epsilon_{{0}} = \frac{A – B}{2}$, 则：

• $\exists \delta_{{1}} > 0, \forall x \left(0 < \left|x – x_{{0}}\right| < \delta_{{1}}\right)$, 使得 $\left|f \left(x\right) – A\right| < \epsilon_{{0}} = \frac{A – B}{2}$, 于是：

$$
\begin{aligned}
& \ \left|f \left(x\right) – A\right| < \frac{A – B}{2} \\ \
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } & \ – \frac{A – B}{2} < f \left(x\right) – A < \frac{A – B}{2} \\ \
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } & \ – \frac{A – B}{2} < f \left(x\right) – A \\ \
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } & \ f \left(x\right) > A – \frac{A – B}{2} \\ \
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } & \ \textcolor{lightgreen}{ f \left(x\right) > \frac{A + B}{2} }
\end{aligned}
$$

• $\exists \delta_{{2}} > 0, \forall x \left(0 < \left|x – x_{{0}}\right| < \delta_{{2}}\right)$, 使得 $\left|g \left(x\right) – B\right| < \epsilon_{{0}} = \frac{A – B}{2}$, 于是：

$$
\begin{aligned}
& \ \left|g \left(x\right) – B\right| < \frac{A – B}{2} \\ \
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } & \ – \frac{A – B}{2} < g \left(x\right) – B < \frac{A – B}{2} \\ \
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } & \ g \left(x\right) – B < \frac{A – B}{2} \\ \
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } & \ g \left(x\right) < B + \frac{A – B}{2} \\ \
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } & \ \textcolor{lightgreen}{g \left(x\right) < \frac{A + B}{2}}
\end{aligned}
$$

因此，取 $\delta = \min\left\{\delta_{{1}}, \delta_{{2}}\right\}$, 当 $0 < \left|x – x_{{0}}\right| < \delta$ 时，有：

$$
\textcolor{lightgreen}{
f \left(x\right) > \frac{A + B}{2} > g \left(x\right)
}
$$

推论 1

设 $\lim_{x \to x_{0}} f \left(x\right) = A$, 另有常数 $B$, 且 $A > B$, 则存在 $\delta > 0$, 使得当 $0 < \left|x – x_{0}\right| < \delta$ 时，下式成立：

$$
\textcolor{lightgreen}{
f \left(x\right) > B
}
$$

推论 1 的证明

若令 $g \left(x\right) = B$, 则根据前面对一元函数一点处极限的性质之局部保序性这一性质的证明，可以证明推论 1.

针对推论 1 的另一种证明方式——

由于 $A > B$, 由实数系的稠密性可知，存在：

$$
A > C > B
$$

于是，令 $0 < \epsilon < A – C$, 则 $\exists \delta > 0,\ \forall x\left(0 < \left|x – x_{0}\right| < \delta\right)$, 使得下式成立：

$$
\left|f \left(x\right) – A\right| < \epsilon < A – C
$$

进而：

$$
\begin{aligned}
& \ \left|f \left(x\right) – A\right| < \epsilon < A – C \\ \
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } & \ \left|f \left(x\right) – A\right| < A – C \\ \
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } & \ -A + C < f \left(x\right) – A < A – C \\ \
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } & \ -A + C < f \left(x\right) – A \\ \
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } & \ \textcolor{lightgreen}{f \left(x\right) > C > B}
\end{aligned}
$$

综上可知，推论 1 得证.

推论 2

设 $\lim_{x \to x_{0}} f \left(x\right) = A \ne 0$, 则存在 $\delta > 0$, 使得当 $0 < \left|x – x_{0}\right| < \delta$ 时，下式成立：

$$
\textcolor{lightgreen}{
\left|f \left(x\right)\right| > \frac{\left|A\right|}{2}
}
$$

推论 2 的证明

根据上面的“推论 1”可知，显然当 $A \ne 0$ 时，$\left|A\right| > \frac{\left|A\right|}{2}$.

当然，我们也可以通过下面的步骤证明推论 2——

已知 $\lim_{x \to x_{0}} f \left(x\right) = A$, 则 $\forall \epsilon > 0,\ \exists \delta > 0,\ \forall x\left(0 < \left|x – x_{0}\right| < \delta\right)$, 使得 $\left|f \left(x\right) – A\right| < \epsilon$.

于是，由三角不等式可知：

$$
\left|\left|f \left(x\right)\right| – \left|A\right|\right| \leqslant \left|f \left(x\right) – A\right| < \epsilon
$$

令 $g \left(x\right) = \left|f \left(x\right)\right|$, 则 $\lim_{x \to x_{0}} g \left(x\right) = \left|A\right|$, 又因为 $\left|A\right| > \frac{\left|A\right|}{2}$, 所以：

$$
\textcolor{lightgreen}{
g \left(x\right) = \left|f \left(x\right)\right| > \frac{\left|A\right|}{2}
}
$$

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