标签： 线性代数基础

$\mathrm{r}(\mathit{A}+\mathit{B})$ $⩽$ $\mathrm{r}(\mathit{A})$ $+$ $\mathrm{r}(\mathit{B})$

$\mathrm{r}(\mathit{A})$ $=$ $\mathrm{r}(\mathit{A}{\mathit{A}}^{\mathbf{\top }})$ $=$ $\mathrm{r}({\mathit{A}}^{\mathbf{\top }}\mathit{A})$

$\mathrm{r}(\mathit{A})$ $=$ $\mathrm{r}(k\mathit{A})$

不会

$\mathrm{r}(\mathit{A})$ $=$ $\mathrm{r}({\mathit{A}}^{\mathbf{\top }})$

$0$ $⩽$ $r\left({\mathit{A}}_{\mathrm{m}\times \mathrm{n}}\right)$ $⩽$ $min\{m,n\}$

初等 行 变 换 对 行 或 列 向 量 组 的线性相关性 都 无 影 响

原 因 ：对矩阵做初等行变换时，原本在同一列的元素，在行变换发生之后，仍然会在该列中，只不过在该列中的位置会产生变化。

无论是初等行变换还是初等列变换，都 不 会 影响矩阵的秩。

而且，由于矩阵的行秩和列秩一定相等，因此，换种说法就是，初等变换 不 会 影响矩阵的行秩或列秩。

行秩 $=$ 列秩

矩阵的行秩和列秩是 相 等 的，统称为“秩”——也就是说，对于一个矩阵而言，其秩对应的值是 唯 一 的。

存 在 矩阵 $\mathit{A}$ 的 $r$ 阶子式 不 为 零 ，且矩阵 $\mathit{A}$ 的 所 有 $r$ $+$ $1$ 阶子式 全 为 零

$0$

$n$

构成矩阵子式的元素 可 以 不 相 邻 ，例如，对于矩阵 $\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\end{array}\right]$ 而言，$\left|\begin{array}{cc}2& 3\\ 5& 6\end{array}\right|$ 和 $\left|\begin{array}{cc}1& 3\\ 4& 6\end{array}\right|$ 均 是 其子式。

矩阵的子式 一 定 是一个 行 数与 列 数 相 等 的行列式