n 维向量的概念与运算归档

向量数乘第二种形式的分配律（C013）

问题

已知，$k$ 和 $l$ 为常数，$\alpha$ 为向量。则，根据向量数乘的分配律，$\textcolor{orange}{(}$ $\textcolor{orange}{k}$ $\textcolor{orange}{+}$ $\textcolor{orange}{l}$ $\textcolor{orange}{)}$ $\textcolor{orange}{\alpha}$ $=$ $?$

选项

[A]. $($ $k$ $+$ $l$ $)$ $\alpha$ $=$ $\frac{1}{k}$ $\alpha$ $+$ $\frac{1}{l}$ $\alpha$

[B]. $($ $k$ $+$ $l$ $)$ $\alpha$ $=$ $k l$ $\alpha$ $+$ $k l$ $\alpha$

[C]. $($ $k$ $+$ $l$ $)$ $\alpha$ $=$ $k$ $\alpha$ $+$ $l$ $\alpha$

[D]. $($ $k$ $+$ $l$ $)$ $\alpha$ $=$ $(k l)$ $\alpha$

答案

$($ $\textcolor{orange}{k}$ $+$ $\textcolor{cyan}{l}$ $)$ $\alpha$ $=$ $\textcolor{orange}{k}$ $\alpha$ $+$ $\textcolor{cyan}{l}$ $\alpha$

向量数乘第一种形式的分配律（C013）

问题

已知，$k$ 为常数，$\alpha$ 和 $\beta$ 为向量。则，根据向量数乘的分配律，$\textcolor{orange}{k}$ $\textcolor{orange}{(}$ $\textcolor{orange}{\alpha}$ $\textcolor{orange}{+}$ $\textcolor{orange}{\beta}$ $\textcolor{orange}{)}$ $=$ $?$

选项

[A]. $k$ $($ $\alpha$ $+$ $\beta$ $)$ $=$ $\alpha$ $+$ $k$ $\beta$

[B]. $k$ $($ $\alpha$ $+$ $\beta$ $)$ $=$ $k$ $\alpha$ $+$ $\beta$

[C]. $k$ $($ $\alpha$ $+$ $\beta$ $)$ $=$ $\frac{1}{k}$ $\alpha$ $+$ $\frac{1}{k}$ $\beta$

[D]. $k$ $($ $\alpha$ $+$ $\beta$ $)$ $=$ $k$ $\alpha$ $+$ $k$ $\beta$

答案

$\textcolor{orange}{k}$ $($ $\alpha$ $+$ $\beta$ $)$ $=$ $\textcolor{orange}{k}$ $\alpha$ $+$ $\textcolor{orange}{k}$ $\beta$

向量数乘的结合律（C013）

问题

已知 $k$ 和 $l$ 为常数，$\alpha$ 为向量。则，根据向量数乘的结合律，$\textcolor{orange}{k}$ $\textcolor{orange}{(}$ $\textcolor{orange}{l}$ $\textcolor{orange}{\alpha}$ $\textcolor{orange}{)}$ $=$ $?$

选项

[A]. $k$ $($ $l$ $\alpha$ $)$ $=$ $($ $\frac{l}{k}$ $)$ $\alpha$

[B]. $k$ $($ $l$ $\alpha$ $)$ $=$ $($ $k$ $l$ $)$ $\alpha$

[C]. $k$ $($ $l$ $\alpha$ $)$ $=$ $($ $k$ $+$ $l$ $)$ $\alpha$

[D]. $k$ $($ $l$ $\alpha$ $)$ $=$ $($ $\frac{k}{l}$ $)$ $\alpha$

答案

$\textcolor{orange}{k}$ $($ $\textcolor{cyan}{l}$ $\alpha$ $)$ $=$ $($ $\textcolor{orange}{k}$ $\textcolor{cyan}{l}$ $)$ $\alpha$

向量与其负向量相加的结果（C013）

问题

已知，有一个向量 $\alpha$ 和其负向量 $-$ $\alpha$, 则，根据向量加法运算的定理，$\textcolor{orange}{\alpha}$ $\textcolor{orange}{+}$ $\textcolor{orange}{(}$ $\textcolor{orange}{-}$ $\textcolor{orange}{\alpha}$ $\textcolor{orange}{)}$ $=$ $?$

选项

[A]. $\alpha$ $+$ $($ $-$ $\alpha$ $)$ $=$ $1$

[B]. $\alpha$ $+$ $($ $-$ $\alpha$ $)$ $=$ $\alpha$

[C]. $\alpha$ $+$ $($ $-$ $\alpha$ $)$ $=$ $0$

[D]. $\alpha$ $+$ $($ $-$ $\alpha$ $)$ $=$ $-$ $\alpha$

答案

$\textcolor{orange}{\alpha}$ $+$ $($ $\textcolor{cyan}{-}$ $\textcolor{orange}{\alpha}$ $)$ $=$ $\textcolor{red}{0}$

向量与零向量相加的结果（C013）

问题

已知，有一个向量 $\alpha$ 和一个零向量 $0$, 则，根据向量加法运算的定理，$\textcolor{orange}{\alpha}$ $\textcolor{orange}{+}$ $\textcolor{orange}{0}$ $=$ $?$

选项

[A]. $\alpha$ $+$ $0$ $=$ $0$

[B]. $\alpha$ $+$ $0$ $=$ $\alpha$

[C]. $\alpha$ $+$ $0$ $=$ $-$ $\alpha$

[D]. $\alpha$ $+$ $0$ $=$ $1$

答案

$\textcolor{orange}{\alpha}$ $+$ $\textcolor{cyan}{0}$ $=$ $\textcolor{orange}{\alpha}$

向量加法运算的结合律（C013）

问题

根据向量加法运算的结合律，$($ $\alpha$ $+$ $\beta$ $)$ $+$ $\gamma$ $=$ $?$

选项

[A]. $($ $\alpha$ $+$ $\beta$ $)$ $+$ $\gamma$ $=$ $\alpha$ $+$ $($ $\beta$ $+$ $\gamma$ $)$

[B]. $($ $\alpha$ $+$ $\beta$ $)$ $+$ $\gamma$ $\neq$ $\alpha$ $+$ $($ $\beta$ $+$ $\gamma$ $)$

[C]. $($ $\alpha$ $+$ $\beta$ $)$ $+$ $\gamma$ $=$ $\alpha$ $+$ $($ $\beta$ $\times$ $\gamma$ $)$

[D]. $($ $\alpha$ $+$ $\beta$ $)$ $+$ $\gamma$ $=$ $\alpha$ $\times$ $($ $\beta$ $+$ $\gamma$ $)$

答案

$\textcolor{orange}{(}$ $\alpha$ $\textcolor{cyan}{+}$ $\beta$ $\textcolor{orange}{)}$ $\textcolor{cyan}{+}$ $\gamma$ $\textcolor{red}{=}$ $\alpha$ $\textcolor{cyan}{+}$ $\textcolor{orange}{(}$ $\beta$ $\textcolor{cyan}{+}$ $\gamma$ $\textcolor{orange}{)}$

向量加法运算的交换律（C013）

问题

根据向量加法运算的交换律，$\alpha$ $+$ $\beta$ $=$ $?$

选项

[A]. $\alpha$ $+$ $\beta$ $\neq$ $\beta$ $+$ $\alpha$

[B]. $\alpha$ $+$ $\beta$ $=$ $\beta$ $-$ $\alpha$

[C]. $\alpha$ $+$ $\beta$ $=$ $\beta$ $+$ $\alpha$

[D]. $\alpha$ $+$ $\beta$ $=$ $-$ $\beta$ $-$ $\alpha$

答案

$\textcolor{orange}{\alpha}$ $+$ $\textcolor{cyan}{\beta}$ $=$ $\textcolor{cyan}{\beta}$ $+$ $\textcolor{orange}{\alpha}$

零向量的写法（C013）

问题

$n$ 维零向量可以记为（）？

选项

[A]. $o$

[B]. $\Omega$

[C]. $O$

[D]. $0$

答案

零向量可以用数字 $\textcolor{orange}{0}$ 表示为：
$\textcolor{orange}{0}_{\textcolor{cyan}{n}}$ 或 $\textcolor{orange}{0}$

零向量的定义（C013）

问题

根据零向量的定义，以下哪个选项是三维零向量？

选项

[A]. $(0, 0, 1)^{\top}$

[B]. $(0, 0, 0)^{\top}$

[C]. $\begin{pmatrix} & & 0\\ & 0 & \\ 0 & & \end{pmatrix}$

[D]. $\begin{pmatrix} 0 & & \\ & 0 & \\ & & 0 \end{pmatrix}$

答案

$n$ 个分量全为零的 $n$ 维向量被称为 $n$ 维零向量：
$\textcolor{orange}{(0, 0, 0)^{\top}}$

或：
$\textcolor{cyan}{(0, 0, 0)}$.

向量的数乘运算（C013）

问题

已知，有常数 $\textcolor{cyan}{k}$ 和向量 $\textcolor{orange}{\alpha}$ $\textcolor{orange}{=}$ $\textcolor{orange}{(a_{1}, a_{2}, a_{3})^{\top}}$, 则 $\textcolor{cyan}{k}$ $\textcolor{orange}{\alpha}$ $=$ $?$

选项

[A]. $k \alpha$ $=$ $(\frac{1}{k} a_{1}, \frac{1}{k} a_{2}, \frac{1}{k} a_{3})^{\top}$

[B]. $k \alpha$ $=$ $(k^{3} a_{1}, k^{3} a_{2}, k^{3} a_{3})^{\top}$

[C]. $k \alpha$ $=$ $(ka_{1}, a_{2}, a_{3})^{\top}$

[D]. $k \alpha$ $=$ $(ka_{1}, ka_{2}, ka_{3})^{\top}$

答案

$\textcolor{cyan}{k} \alpha$ $=$ $(\textcolor{cyan}{k} a_{1}, \textcolor{cyan}{k} a_{2}, \textcolor{cyan}{k} a_{3})^{\top}$

向量的加法运算（C013）

问题

已知，有向量 $\textcolor{orange}{\alpha}$ $\textcolor{orange}{=}$ $\textcolor{orange}{(a_{1}, a_{2}, a_{3})^{\top}}$, $\textcolor{cyan}{\beta}$ $\textcolor{cyan}{=}$ $\textcolor{cyan}{(b_{1}, b_{2}, b_{3})^{\top}}$, 则 $\textcolor{orange}{\alpha}$ $\textcolor{red}{+}$ $\textcolor{cyan}{\beta}$ $=$ $?$

选项

[A]. $\alpha$ $+$ $\beta$ $=$ $a_{1}$ $\times$ $b_{1}$ $+$ $a_{2}$ $\times$ $b_{2}$ $+$ $a_{3}$ $\times$ $b_{3}$

[B]. $\alpha$ $+$ $\beta$ $=$ $(a_{1}, a_{2}, a_{3}, b_{1}, b_{2}, b_{3})^{\top}$

[C]. $\alpha$ $+$ $\beta$ $=$ $(a_{1} + b_{1}, a_{2} + b_{2}, a_{3} + b_{3})$

[D]. $\alpha$ $+$ $\beta$ $=$ $(a_{1} + b_{1}, a_{2} + b_{2}, a_{3} + b_{3})^{\top}$

答案

相加的向量必须同为行向量或者列向量，之后将对应位置的元素相加，即可得新向量：
$\textcolor{orange}{\alpha}$ $\textcolor{yellow}{+}$ $\textcolor{cyan}{\beta}$ $=$ $\textcolor{yellow}{(} \textcolor{orange}{a_{1}} \textcolor{yellow}{+} \textcolor{cyan}{b_{1}}, \textcolor{orange}{a_{2}} \textcolor{yellow}{+} \textcolor{cyan}{b_{2}}, \textcolor{orange}{a_{3}} \textcolor{yellow}{+} \textcolor{cyan}{b_{3}} \textcolor{yellow}{)}^{\textcolor{red}{\top}}$

向量相等的判断（C013）

问题

以下选项中，哪个选项中的两个向量是相等的？

选项

[A]. $\begin{pmatrix} 1\\ 2\\ 3 \end{pmatrix}$ 和 $(1, 2, 3)^{\top}$

[B]. $(1, 2, 3)$ 和 $(3, 2, 1)$

[C]. $\begin{pmatrix} 1\\ 2\\ 3 \end{pmatrix}$ 和 $\begin{pmatrix} 1\\ 2\\ 3 \end{pmatrix}^{\top}$

[D]. $\begin{pmatrix} 1\\ 2\\ 3 \end{pmatrix}$ 和 $(3, 2, 1)^{\top}$

答案

相等的向量必须同为行向量或者同为列向量，且对应的元素必须全部相等：
$\textcolor{orange}{\begin{pmatrix} 1\\ 2\\ 3 \end{pmatrix}}$ 和 $\textcolor{cyan}{(1, 2, 3)}^{\textcolor{red}{\top}}$

列向量的形式（C013）

问题

根据矩阵向量的定义，已知一个列向量由 $\textcolor{orange}{a}$, $\textcolor{orange}{b}$, $\textcolor{orange}{c}$ 这三个分量组成，则下列选项中，正确表示了该列向量的选项是哪个？

选项

[A]. $\begin{pmatrix} a & b & c \end{pmatrix}^{\top}$

[B]. $\begin{pmatrix} & & a\\ & b & \\ c & & \end{pmatrix}$

[C]. $\begin{pmatrix} a & b & c \end{pmatrix}$

[D]. $\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}^{\top}$

答案

列向量的表示形式（写法）：
$\textcolor{orange}{\begin{pmatrix} a & b & c \end{pmatrix}}^{\textcolor{red}{\top}}$

或者：
$\textcolor{cyan}{\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}}$

行向量的形式（C013）

问题

根据矩阵向量的定义，已知一个行向量由 $\textcolor{orange}{a}$, $\textcolor{orange}{b}$, $\textcolor{orange}{c}$ 这三个分量组成，则下列选项中，正确表示了该行向量的选项是哪个？

选项

[A]. $\begin{pmatrix} a & b & c \end{pmatrix}$

[B]. $\begin{pmatrix} & & a\\ & b & \\ c & & \end{pmatrix}$

[C]. $\begin{pmatrix} a & & \\ & b & \\ & & c \end{pmatrix}$

[D]. $\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}$

答案

行向量的表示形式（写法）：
$\textcolor{orange}{\begin{pmatrix} a & b & c \end{pmatrix}}$

或者：
$\textcolor{cyan}{\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}}^{\textcolor{red}{\top}}$