标签： 线性代数基础

$\mathrm{r}({\mathit{\alpha }}_1,{\mathit{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathit{\alpha }}_m)$ $=$ $\mathrm{r}({\mathit{\alpha }}_1,{\mathit{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathit{\alpha }}_m,\mathit{\beta })$

不 能

向量 $\mathit{\beta }$ 能 由 向量组 ${\mathit{\alpha }}_1$, ${\mathit{\alpha }}_2$, $\cdots$, ${\mathit{\alpha }}_m$ 线 性 表 示
$\iff$
非齐次线性方程组 $({\mathit{\alpha }}_1,{\mathit{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathit{\alpha }}_m)\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_m\end{array}\right)$ $=$ $\mathit{\beta }$ 有 解

不 能

向量 $\mathit{\beta }$ 能 由 向量组 ${\mathit{\alpha }}_1$, ${\mathit{\alpha }}_2$, $\cdots$, ${\mathit{\alpha }}_m$ 线 性 表 示
$\iff$
存 在 常数 $k_1$, $k_2$, $\cdots$, $k_m$, 使得 $k_1{\mathit{\alpha }}_1$ $+$ $k_2{\mathit{\alpha }}_2$ $+$ $\cdots$ $+$ $k_m{\mathit{\alpha }}_m$ $=$ $\mathit{\beta }$ 成 立

向量组 ${\mathit{\alpha }}_1$, ${\mathit{\alpha }}_2$, $\cdots$, ${\mathit{\alpha }}_m$ 线 性 相 关
$\iff$
$\mathrm{r}({\mathit{\alpha }}_1,{\mathit{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathit{\alpha }}_m)$ $<$ $m$

向量组 ${\mathit{\alpha }}_1$, ${\mathit{\alpha }}_2$, $\cdots$, ${\mathit{\alpha }}_m$ 线 性 无 关
$\iff$
$\mathrm{r}({\mathit{\alpha }}_1,{\mathit{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathit{\alpha }}_m)$ $=$ $m$

向量组的 极 大 无 关 组 所含 向 量 的 个 数 称为向量组的 秩 。

高 维 相 关 ，则 低 维 相 关

低 维 无 关 ，则 高 维 无 关

部 分 相 关 ，则 整 体 相 关

整 体 无 关 ，则 部 分 无 关

$|{\mathit{\alpha }}_1,{\mathit{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathit{\alpha }}_n|$ $\ne$ $0$

向量组 ${\alpha }_1$, ${\alpha }_2$, $\cdots$, ${\alpha }_m$ 线 性 无 关
$\iff$
$\mathbf{r}({\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_m)$ $=$ $m$

向量组 ${\alpha }_1$, ${\alpha }_2$, $\cdots$, ${\alpha }_m$ 线 性 无 关
$\iff$
对应的 齐 次 线 性 方程组 只 有 零 解

向量组 ${\alpha }_1$, ${\alpha }_2$, $\cdots$, ${\alpha }_m$ 线 性 无 关
$\iff$
任 意 一 个 向量 均 不 能 由其余向量 线 性 表 示