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向量可由向量组线性表示的充要条件：所形成的矩阵的秩（C019）

问题

以下哪个选项可以说明向量 $\mathit{\beta }$ 和向量组 ${\mathit{\alpha }}_1$, ${\mathit{\alpha }}_2$, $\cdots$, ${\mathit{\alpha }}_m$ 线 性 相 关 ？

选项

[A].   $\mathrm{r}({\mathit{\alpha }}_1,{\mathit{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathit{\alpha }}_m)$ $=$ $\mathrm{r}({\mathit{\alpha }}_1,{\mathit{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathit{\alpha }}_m,\mathit{\beta })$

[B].   $\mathrm{r}({\mathit{\alpha }}_1,{\mathit{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathit{\alpha }}_m)$ $⩾$ $\mathrm{r}({\mathit{\alpha }}_1,{\mathit{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathit{\alpha }}_m,\mathit{\beta })$

[C].   $\mathrm{r}({\mathit{\alpha }}_1,{\mathit{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathit{\alpha }}_m)$ $⩽$ $\mathrm{r}({\mathit{\alpha }}_1,{\mathit{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathit{\alpha }}_m,\mathit{\beta })$

[D].   $\mathrm{r}({\mathit{\alpha }}_1,{\mathit{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathit{\alpha }}_m)$ $\ne$ $\mathrm{r}({\mathit{\alpha }}_1,{\mathit{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathit{\alpha }}_m,\mathit{\beta })$

   答 案   

$\mathrm{r}({\mathit{\alpha }}_1,{\mathit{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathit{\alpha }}_m)$ $=$ $\mathrm{r}({\mathit{\alpha }}_1,{\mathit{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathit{\alpha }}_m,\mathit{\beta })$

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