11 月 2022 - 第6页共6页

正项级数比较判别法的极限形式： $0$ $<$ $A$ $⩽$ $+ \infty$ （B024）

问题

已知，

\sum_{n = 1}^{\infty}

u_{n}

及

\sum_{n = 1}^{\infty}

v_{n}

均为正项级数，且

lim_{n \to \infty}

\frac{u_{n}}{v_{n}}

=

A

(

v_{n}

\neq

0

)

若 $0$ $<$ $A$ $⩽$ $+ \infty$ , 则 $\sum_{n = 1}^{\infty}$ $v_{n}$ 和 $\sum_{n = 1}^{\infty}$ $u_{n}$ 之间敛散性的关系如何？

选项

[A]. 若

\sum_{n = 1}^{\infty}

v_{n}

收敛，则

\sum_{n = 1}^{\infty}

u_{n}

收敛

[B]. 若

\sum_{n = 1}^{\infty}

v_{n}

收敛，则

\sum_{n = 1}^{\infty}

u_{n}

发散

[C]. 若

\sum_{n = 1}^{\infty}

v_{n}

发散，则

\sum_{n = 1}^{\infty}

u_{n}

收敛

[D]. 若

\sum_{n = 1}^{\infty}

v_{n}

发散，则

\sum_{n = 1}^{\infty}

u_{n}

发散

答案

若 $\sum_{n = 1}^{\infty}$ $v_{n}$ 发散，则 $\sum_{n = 1}^{\infty}$ $u_{n}$ 发散

正项级数比较判别法的极限形式： $0$ $⩽$ $A$ $<$ $+ \infty$ （B024）

问题

已知，

\sum_{n = 1}^{\infty}

u_{n}

及

\sum_{n = 1}^{\infty}

v_{n}

均为正项级数，且

lim_{n \to \infty}

\frac{u_{n}}{v_{n}}

=

A

(

v_{n}

\neq

0

)

若 $0$ $⩽$ $A$ $<$ $+ \infty$ , 则 $\sum_{n = 1}^{\infty}$ $v_{n}$ 和 $\sum_{n = 1}^{\infty}$ $u_{n}$ 之间敛散性的关系如何？

选项

[A]. 若

\sum_{n = 1}^{\infty}

v_{n}

发散，则

\sum_{n = 1}^{\infty}

u_{n}

发散

[B]. 若

\sum_{n = 1}^{\infty}

v_{n}

发散，则

\sum_{n = 1}^{\infty}

u_{n}

收敛

[C]. 若

\sum_{n = 1}^{\infty}

v_{n}

收敛，则

\sum_{n = 1}^{\infty}

u_{n}

发散

[D]. 若

\sum_{n = 1}^{\infty}

v_{n}

收敛，则

\sum_{n = 1}^{\infty}

u_{n}

收敛

答案

若 $\sum_{n = 1}^{\infty}$ $v_{n}$ 收敛，则 $\sum_{n = 1}^{\infty}$ $u_{n}$ 收敛

问题

已知

0

⩽

u_{n}

⩽

v_{n}

, 则，以下关于正项级数

\sum_{n = 1}^{\infty}

v_{n}

和

\sum_{n = 1}^{\infty}

u_{n}

的敛散性关系的说法中，正确的是哪个？

选项

[A].
若

\sum_{n = 1}^{\infty}

v_{n}

收敛，则

\sum_{n = 1}^{\infty}

u_{n}

收敛
若

\sum_{n = 1}^{\infty}

u_{n}

发散，则

\sum_{n = 1}^{\infty}

v_{n}

发散

[B].
若

\sum_{n = 1}^{\infty}

u_{n}

收敛，则

\sum_{n = 1}^{\infty}

v_{n}

收敛
若

\sum_{n = 1}^{\infty}

u_{n}

发散，则

\sum_{n = 1}^{\infty}

v_{n}

发散

[C].
若

\sum_{n = 1}^{\infty}

v_{n}

收敛，则

\sum_{n = 1}^{\infty}

u_{n}

收敛
若

\sum_{n = 1}^{\infty}

v_{n}

发散，则

\sum_{n = 1}^{\infty}

u_{n}

发散

[D].
若

\sum_{n = 1}^{\infty}

v_{n}

收敛，则

\sum_{n = 1}^{\infty}

u_{n}

发散
若

\sum_{n = 1}^{\infty}

u_{n}

发散，则

\sum_{n = 1}^{\infty}

v_{n}

收敛

答案

若 $\sum_{n = 1}^{\infty}$ $v_{n}$ 收敛，则 $\sum_{n = 1}^{\infty}$ $u_{n}$ 收敛
若 $\sum_{n = 1}^{\infty}$ $u_{n}$ 发散，则 $\sum_{n = 1}^{\infty}$ $v_{n}$ 发散

级数 $\sum_{n = 2}^{\infty}$ $\frac{1}{n \ln^{p} n}$ 的敛散性判别（B024）

问题

关于级数

\sum_{n = 2}^{\infty}

\frac{1}{n \ln^{p} n}

的敛散性，以下选项中，正确的是哪个？

选项

[A].

\sum_{n = 2}^{\infty}

\frac{1}{n \ln^{p} n}

{\begin{cases} 收 敛, & p > 1, \\ 发 散, & p < 1. \end{cases}

[B].

\sum_{n = 2}^{\infty}

\frac{1}{n \ln^{p} n}

{\begin{cases} 收 敛, & p > 0, \\ 发 散, & p ⩽ 0. \end{cases}

[C].

\sum_{n = 2}^{\infty}

\frac{1}{n \ln^{p} n}

{\begin{cases} 收 敛, & p > 1, \\ 发 散, & p ⩽ 1. \end{cases}

[D].

\sum_{n = 2}^{\infty}

\frac{1}{n \ln^{p} n}

{\begin{cases} 收 敛, & p ⩾ 1, \\ 发 散, & p ⩽ 1. \end{cases}

答案

$\sum_{n = 2}^{\infty}$ $\frac{1}{n \ln^{p} n}$ ${\begin{cases} 收敛, & p > 1, \\ 发散, & p ⩽ 1. \end{cases}$

$p$ 级数 $\sum_{n = 1}^{\infty}$ $\frac{1}{n^{p}}$ 的敛散性判别（B024）

问题

关于

p

级数

\sum_{n = 1}^{\infty}

\frac{1}{n^{p}}

的敛散性，以下选项中，正确的是哪个？

选项

[A].

\sum_{n = 1}^{\infty}

\frac{1}{n^{p}}

{\begin{cases} 收 敛, p > 1, \\ 发 散, p < 1 . \end{cases}

[B].

\sum_{n = 1}^{\infty}

\frac{1}{n^{p}} {\begin{cases} 收 敛, p ⩾ 1, \\ 发 散, p ⩽ 1 . \end{cases}

[C].

\sum_{n = 1}^{\infty}

\frac{1}{n^{p}} {\begin{cases} 收 敛, p > 1, \\ 发 散, p = 1 . \end{cases}

[D].

\sum_{n = 1}^{\infty}

\frac{1}{n^{p}} {\begin{cases} 收 敛, p > 1, \\ 发 散, p ⩽ 1 . \end{cases}

答案

$\sum_{n = 1}^{\infty}$ $\frac{1}{n^{p}} {\begin{cases} 收敛, p > 1, \\ 发散, p ⩽ 1 . \end{cases}$

等比级数 $\sum_{n = 1}^{\infty}$ $a q^{n - 1}$ 的敛散性判别（B024）

问题

关于等比级数

\sum_{n = 1}^{\infty}

a q^{n - 1}

的敛散性，以下选项中，正确的是哪个？

选项

[A].

\sum_{n = 1}^{\infty}

a q^{n - 1}

{\begin{cases} = \frac{a}{1 - q}, & | q | < 1, \\ 发 散, & | q | > 1. \end{cases}

[B].

\sum_{n = 1}^{\infty}

a q^{n - 1}

{\begin{cases} = \frac{a}{1 - q}, & | q | < 1, \\ 发 散, & | q | = 1. \end{cases}

[C].

\sum_{n = 1}^{\infty}

a q^{n - 1}

{\begin{cases} = \frac{a}{1 - q}, & | q | < 1, \\ 发 散, & | q | \geq 1. \end{cases}

[D].

\sum_{n = 1}^{\infty}

a q^{n - 1}

{\begin{cases} = \frac{a}{1 - q}, & | q | \leq 1, \\ 发 散, & | q | \geq 1. \end{cases}

答案

$\sum_{n = 1}^{\infty}$ $a q^{n - 1}$ ${\begin{cases} = \frac{a}{1 - q}, & | q | < 1, \\ 发散, & | q | \geq 1. \end{cases}$

问题

级数

\sum_{n = 1}^{\infty}

u_{n}

收敛的必要条件是？

选项

[A].

lim_{n \to \infty}

u_{n}

=

\infty

[B].

lim_{n \to \infty}

u_{n}

=

1

[C].

lim_{n \to \infty}

u_{n}

=

0

[D].

lim_{n \to \infty}

u_{n}

=

- 1

答案

$lim_{n \to \infty}$ $u_{n}$ $=$ $0$

问题

以下关于加括号后所得的新级数的敛散性和原级数的之间关系的结论中，正确的是哪一项？

选项

[A].
若一个级数加括号后所得的新级数发散，则，原级数发散
若一个级数加括号后所得的新级数收敛，则，原级数的收敛

[B].
若一个级数加括号后所得的新级数发散，则，原级数收敛
若一个级数加括号后所得的新级数收敛，则，原级数的敛散性不定

[C].
若一个级数加括号后所得的新级数发散，则，原级数发散
若一个级数加括号后所得的新级数收敛，则，原级数的敛散性不定

[D].
若一个级数加括号后所得的新级数发散，则，原级数收敛
若一个级数加括号后所得的新级数收敛，则，原级数发散

答案

若一个级数加括号后所得的新级数发散，则，原级数发散
若一个级数加括号后所得的新级数收敛，则，原级数的敛散性不定

解释：括号具有“约束”作用，对一个级数中的项任意的添加括号可以使这个级数具备趋向于收敛的趋势（但不一定会真的收敛）。

括号对级数求和结果的影响（B023）

问题

已知，级数

\sum_{n = 1}^{\infty}

u_{n}

收敛，则对其各项任意加括号后所得的新级数与原级数之间存在怎样的关系？

选项

[A]. 新级数的收敛值大于原级数

[B]. 新级数仍收敛于原级数的和

[C]. 新级数的收敛值与原级数无关

[D]. 新级数的收敛值小于原级数

答案

新级数仍收敛于原级数的和

级数中的有限项对级数敛散性的影响（B023）

问题

增加、删除或者更改级数中的有限项是否会影响级数的敛散性？

选项

[A]. 不知道

[B]. 不确定

[C]. 影响

[D]. 不影响

答案

不影响

数项级数的加减运算：全都发散的加减敛散性（B023）

问题

已知有两个级数

\sum_{n = 1}^{\infty}

u_{n}

与

\sum_{n = 1}^{\infty}

v_{n}

, 且

\sum_{n = 1}^{\infty}

u_{n}

和

\sum_{n = 1}^{\infty}

v_{n}

均发散，则

\sum_{n = 1}^{\infty}

(

u_{n}

\pm

v_{n}

)

的敛散性如何？

选项

[A].

\sum_{n = 1}^{\infty}

(

u_{n}

\pm

v_{n}

)

发散

[B].

\sum_{n = 1}^{\infty}

(

u_{n}

\pm

v_{n}

)

收敛

[C].

\sum_{n = 1}^{\infty}

(

u_{n}

\pm

v_{n}

)

的敛散性不确定

[D].

\sum_{n = 1}^{\infty}

(

u_{n}

\pm

v_{n}

)

的敛散性不确定

=

0

答案

$\sum_{n = 1}^{\infty}$ $($ $u_{n}$ $\pm$ $v_{n}$ $)$ 的敛散性不确定

数项级数的加减运算：一敛一散的加减敛散性（B023）

问题

已知有两个级数

\sum_{n = 1}^{\infty}

u_{n}

与

\sum_{n = 1}^{\infty}

v_{n}

, 且

\sum_{n = 1}^{\infty}

u_{n}

收敛，

\sum_{n = 1}^{\infty}

v_{n}

发散，则

\sum_{n = 1}^{\infty}

(

u_{n}

\pm

v_{n}

)

的敛散性如何？

选项

[A].

\sum_{n = 1}^{\infty}

(

u_{n}

\pm

v_{n}

)

发散

[B].

\sum_{n = 1}^{\infty}

(

u_{n}

\pm

v_{n}

)

=

0

[C].

\sum_{n = 1}^{\infty}

(

u_{n}

\pm

v_{n}

)

敛散性不确定

[D].

\sum_{n = 1}^{\infty}

(

u_{n}

\pm

v_{n}

)

收敛

答案

$\sum_{n = 1}^{\infty}$ $($ $u_{n}$ $\pm$ $v_{n}$ $)$ 发散

数项级数的加减运算：求和结果的加减性质（B023）

问题

已知有两个级数

\sum_{n = 1}^{\infty}

u_{n}

与

\sum_{n = 1}^{\infty}

v_{n}

, 且

\sum_{n = 1}^{\infty}

u_{n}

=

s

\sum_{n = 1}^{\infty}

v_{n}

=

σ

, 则

\sum_{n = 1}^{\infty}

(

u_{n}

\pm

v_{n}

)

=

?

选项

[A].

\sum_{n = 1}^{\infty}

(

u_{n}

\pm

v_{n}

)

=

s

\mp

σ

[B].

\sum_{n = 1}^{\infty}

(

u_{n}

\pm

v_{n}

)

=

s

\pm

σ

[C].

\sum_{n = 1}^{\infty}

(

u_{n}

\pm

v_{n}

)

=

\frac{s}{σ}

[D].

\sum_{n = 1}^{\infty}

(

u_{n}

\pm

v_{n}

)

=

s

\times

σ

答案

$\sum_{n = 1}^{\infty}$ $($ $u_{n}$ $\pm$ $v_{n}$ $)$ $=$ $s$ $\pm$ $σ$

非零常数对数项级数敛散性的影响（B023）

问题

已知

c

为非零常数，则，

\sum_{n = 1}^{\infty}

u_{n}

与

\sum_{n = 1}^{\infty}

c

\cdot

u_{n}$ 的敛散性关系如何？

选项

[A].

\sum_{n = 1}^{\infty}

u_{n}

与

\sum_{n = 1}^{\infty}

c

\cdot

u_{n}$ 的敛散性不能确定

[B].

\sum_{n = 1}^{\infty}

u_{n}

与

\sum_{n = 1}^{\infty}

c

\cdot

u_{n}$ 的敛散性无关

[C].

\sum_{n = 1}^{\infty}

u_{n}

与

\sum_{n = 1}^{\infty}

c

\cdot

u_{n}$ 的敛散性相反

[D].

\sum_{n = 1}^{\infty}

u_{n}

与

\sum_{n = 1}^{\infty}

c

\cdot

u_{n}$ 的敛散性相同

答案

$\sum_{n = 1}^{\infty}$ $u_{n}$ 与 $\sum_{n = 1}^{\infty}$ $c$ $\cdot$ u_{n}$ 的敛散性相同

旋度的定义（B022）

问题

已知

A (x, y, z)

=

P (x, y, z)

i

+

Q (x, y, z)

j

+

R (x, y, z)

k

, 则旋度

r o t A

=

?

选项

[A].

r o t A

=

(

\frac{\partial R}{\partial y}

-

\frac{\partial Q}{\partial z}

)

i

+

(

\frac{\partial P}{\partial z}

-

\frac{\partial R}{\partial x}

)

j

+

(

\frac{\partial Q}{\partial x}

-

\frac{\partial P}{\partial y}

)

k

=

| \begin{array}{ccc} P & Q & R \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ i & j & k \end{array} |

[B].

r o t A

=

(

\frac{\partial R}{\partial y}

-

\frac{\partial Q}{\partial z}

)

i

\times

(

\frac{\partial P}{\partial z}

-

\frac{\partial R}{\partial x}

)

j

\times

(

\frac{\partial Q}{\partial x}

-

\frac{\partial P}{\partial y}

)

k

=

| \begin{array}{ccc} i & j & k \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ P & Q & R \end{array} |

[C].

r o t A

=

(

\frac{\partial R}{\partial y}

+

\frac{\partial Q}{\partial z}

)

i

-

(

\frac{\partial P}{\partial z}

+

\frac{\partial R}{\partial x}

)

j

-

(

\frac{\partial Q}{\partial x}

+

\frac{\partial P}{\partial y}

)

k

=

| \begin{array}{ccc} i & j & k \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ P & Q & R \end{array} |

[D].

r o t A

=

(

\frac{\partial R}{\partial y}

-

\frac{\partial Q}{\partial z}

)

i

+

(

\frac{\partial P}{\partial z}

-

\frac{\partial R}{\partial x}

)

j

+

(

\frac{\partial Q}{\partial x}

-

\frac{\partial P}{\partial y}

)

k

=

| \begin{array}{ccc} i & j & k \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ P & Q & R \end{array} |

答案

$r o t A$ $=$ $($ $\frac{\partial R}{\partial y}$ $-$ $\frac{\partial Q}{\partial z}$ $)$ $i$ $+$ $($ $\frac{\partial P}{\partial z}$ $-$ $\frac{\partial R}{\partial x}$ $)$ $j$ $+$ $($ $\frac{\partial Q}{\partial x}$ $-$ $\frac{\partial P}{\partial y}$ $)$ $k$ $=$ $| \begin{array}{ccc} i & j & k \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ P & Q & R \end{array} |$