11 月 2022 - 第3页共6页

周期为 $2 l$ 的偶函数的傅里叶展开式（B027）

问题

已知函数

f (x)

是以

2 l

为周期的周期函数，并且

f (x)

还是一个偶函数：

f (x)

=

f (- x)

则，以下关于该函数的傅里叶展开式，正确的是哪个？

选项

[A].

f (x)

\sim

\frac{a_{0}}{2}

+

\sum_{n = 1}^{\infty}

a_{n}

\cos

\frac{π}{l} x

[B].

f (x)

\sim

2 a_{0}

+

\sum_{n = 1}^{\infty}

a_{n}

\cos

\frac{n π}{l} x

[C].

f (x)

\sim

\frac{a_{0}}{2}

+

\sum_{n = 0}^{\infty}

a_{n}

\cos

\frac{n π}{l} x

[D].

f (x)

\sim

\frac{a_{0}}{2}

+

\sum_{n = 1}^{\infty}

a_{n}

\cos

\frac{n π}{l} x

答案

$f (x)$ $\sim$ $\frac{a_{0}}{2}$ $+$ $\sum_{n = 1}^{\infty}$ $a_{n}$ $\cos$ $\frac{n π}{l} x$

周期为 $2 π$ 的奇函数的傅里叶系数： $b_{n}$ （B027）

问题

已知函数

f (x)

是以

2 π

为周期的奇函数，并且其傅里叶展开式为：

$f (x)$ $\sim$ $\sum_{n = 1}^{\infty}$ $b_{n}$ $\sin n x$ .

那么，上述式子中的傅里叶系数 $b_{n}$ $=$ $?$

选项

[A].

b_{n}

=

2 π

\int_{0}^{π}

f (x)

\sin n x

d x

[B].

b_{n}

=

\frac{2}{π}

\int_{0}^{π}

f (x)

\cos n x

d x

[C].

b_{n}

=

\frac{1}{π}

\int_{0}^{π}

f (x)

\sin n x

d x

[D].

b_{n}

=

\frac{2}{π}

\int_{0}^{π}

f (x)

\sin n x

d x

答案

$a_{n}$ $=$ $0$ , 其中 $($ $n$ $=$ $0$ , $1$ , $2$ , $\dots$ $)$

$b_{n}$ $=$ $\frac{2}{π}$ $\int_{0}^{π}$ $f (x)$ $\sin n x$ $d x$ , 其中 $($ $n$ $=$ $1$ , $2$ , $\dots$ $)$

周期为 $2 π$ 的奇函数的傅里叶展开式（B027）

问题

已知函数

f (x)

是以

2 π

为周期的周期函数，并且

f (x)

还是一个奇函数：

f (x)

=

- f (- x)

则，以下关于该函数的傅里叶展开式，正确的是哪个？

选项

[A].

f (x)

\sim

\sum_{n = 1}^{\infty}

b_{n}

\sin x

[B].

f (x)

\sim

\sum_{n = 1}^{\infty}

b_{n}

\cos n x

[C].

f (x)

\sim

\sum_{n = 1}^{\infty}

b_{n}

\sin n x

[D].

f (x)

\sim

\sum_{n = 1}^{\infty}

\frac{1}{b_{n}}

\sin n x

答案

$f (x)$ $\sim$ $\sum_{n = 1}^{\infty}$ $b_{n}$ $\sin n x$

周期为 $2 π$ 的偶函数的傅里叶系数： $a_{n}$ （B027）

问题

已知函数

f (x)

是以

2 π

为周期的偶函数，并且其傅里叶展开式为：

$f (x)$ $\sim$ $\frac{a_{0}}{2}$ $+$ $\sum_{n = 1}^{\infty}$ $a_{n}$ $\cos n x$ .

那么，上述式子中的傅里叶系数 $a_{n}$ $=$ $?$

选项

[A].

a_{n}

=

\frac{2}{π}

\int_{0}^{π}

f (x)

\sin n x

d x

[B].

a_{n}

=

\frac{1}{π}

\int_{0}^{π}

f (x)

\cos n x

d x

[C].

a_{n}

=

\frac{2}{π}

\int_{0}^{π}

f (x)

\cos n x

d x

[D].

a_{n}

=

\frac{2}{π}

\int_{0}^{2 π}

f (x)

\cos n x

d x

答案

$a_{n}$ $=$ $\frac{2}{π}$ $\int_{0}^{π}$ $f (x)$ $\cos n x$ $d x$ , 其中 $($ $n$ $=$ $0$ , $1$ , $2$ , $\dots$ $)$

$b_{n}$ $=$ $0$ , 其中 $($ $n$ $=$ $1$ , $2$ , $\dots$ $)$

周期为 $2 π$ 的偶函数的傅里叶展开式（B027）

问题

已知函数

f (x)

是以

2 π

为周期的周期函数，并且

f (x)

还是一个偶函数：

f (x)

=

f (- x)

则，以下关于该函数的傅里叶展开式，正确的是哪个？

选项

[A].

f (x)

\sim

\frac{2}{a_{0}}

+

\sum_{n = 1}^{\infty}

a_{n}

\cos n x

[B].

f (x)

\sim

\frac{a_{0}}{2}

+

\sum_{n = 1}^{\infty}

a_{n}

\cos n x

[C].

f (x)

\sim

\frac{a_{0}}{2}

+

\sum_{n = 1}^{\infty}

a_{n}

\sin n x

[D].

f (x)

\sim

\frac{a_{0}}{2}

+

\sum_{n = 0}^{\infty}

a_{n}

\cos n x

答案

$f (x)$ $\sim$ $\frac{a_{0}}{2}$ $+$ $\sum_{n = 1}^{\infty}$ $a_{n}$ $\cos n x$

狄利克雷收敛定理：在间断点 $x_{0}$ 处的收敛函数（B027）

问题

已知，函数

f (x)

是以

2 l

为周期的周期函数, 并且，函数

f (x)

的傅里叶级数在区间

[- l, l]

上收敛。

那么，根据迪利克雷收敛定理，函数 $f (x)$ 在间断点 $x_{0}$ 处的收敛函数是什么？

选项

[A].

f (x_{0} - 0)

+

f (x_{0} + 0)

[B].

\frac{1}{3}

[

f (x_{0} - 0)

+

f (x_{0} + 0)

]

[C].

\frac{1}{2}

[

f (x_{0} - 0)

+

f (x_{0} + 0)

]

[D].

\frac{1}{2}

[

f (x_{0} - 0)

-

f (x_{0} + 0)

]

答案

$\frac{1}{2}$ $[$ $f (x_{0} - 0)$ $+$ $f (x_{0} + 0)$ $]$

狄利克雷收敛定理：在连续点 $x_{0}$ 处的收敛函数（B027）

问题

已知，函数

f (x)

是以

2 l

为周期的周期函数, 并且，函数

f (x)

的傅里叶级数在区间

[- l, l]

上收敛。

那么，根据迪利克雷收敛定理，函数 $f (x)$ 在连续点 $x_{0}$ 处的收敛函数是什么？

选项

[A].

\frac{1}{f (x)}

[B].

\frac{f (x)}{2}

[C].

f (x)

[D].

- f (x)

答案

$f (x)$

狄利克雷收敛定理：收敛的条件二（B027）

问题

已知，函数

f (x)

是以

2 l

为周期的周期函数, 若要使函数

f (x)

的傅里叶级数在区间

[- l, l]

上收敛，需要同时满足两个条件，下列哪个选项是要满足的其中一个条件？

选项

[A]. 函数

f (x)

在区间

[- l, l]

上只有有限个最值点

[B]. 函数

f (x)

在区间

[- l, l]

上只有有限个极值点

[C]. 函数

f (x)

在区间

[- l, l]

上只有有限个拐点

[D]. 函数

f (x)

在区间

[- l, l]

上有无限个极值点

答案

函数 $f (x)$ 在区间 $[- l, l]$ 上只有有限个极值点

狄利克雷收敛定理：收敛的条件一（B027）

问题

已知，函数

f (x)

是以

2 l

为周期的周期函数, 若要使函数

f (x)

的傅里叶级数在区间

[- l, l]

上收敛，需要同时满足两个条件，下列哪个选项是要满足的其中一个条件？

选项

[A]. 函数

f (x)

在区间

[- l, l]

上除有限个第一类间断点外都连续

[B]. 函数

f (x)

在区间

[- l, l]

上除无限个第一类间断点外都连续

[C]. 函数

f (x)

在区间

[- l, l]

上除有限个第二类间断点外都连续

[D]. 函数

f (x)

在区间

[- l, l]

上除有限个间断点外都连续

答案

函数 $f (x)$ 在区间 $[- l, l]$ 上除有限个第一类间断点外都连续

周期为 $2 l$ 的一般函数的傅里叶系数： $b_{n}$ （B027）

问题

已知函数

f (x)

是以

2 l

为周期的周期函数，且其傅里叶展开式为：

$\frac{1}{2}$ $a_{0}$ $+$ $\sum_{n = 1}^{\infty}$ $($ $a_{n}$ $\cos \frac{n π}{l} x$ $+$ $b_{n}$ $\sin \frac{n π}{l} x$ $)$ .

那么，上述式子中的傅里叶系数之一 $b_{n}$ $=$ $?$

选项

[A].

b_{n}

=

\frac{π}{l}

\int_{- l}^{l}

f (x)

\sin \frac{n}{l} x

d x

[B].

b_{n}

=

\frac{1}{l}

\int_{- l}^{l}

f (x)

\sin \frac{π}{l} x

d x

[C].

b_{n}

=

\frac{1}{l}

\int_{- l}^{l}

f (x)

\cos \frac{n π}{l} x

d x

[D].

b_{n}

=

\frac{1}{l}

\int_{- l}^{l}

f (x)

\sin \frac{n π}{l} x

d x

答案

$b_{n}$ $=$ $\frac{1}{l}$ $\int_{- l}^{l}$ $f (x)$ $\sin \frac{n π}{l} x$ $d x$ .

其中， $($ $n$ $=$ $1$ , $2$ , $\dots$ $)$

周期为 $2 l$ 的一般函数的傅里叶系数： $a_{n}$ （B027）

问题

已知函数

f (x)

是以

2 l

为周期的周期函数，且其傅里叶展开式为：

$\frac{1}{2}$ $a_{0}$ $+$ $\sum_{n = 1}^{\infty}$ $($ $a_{n}$ $\cos \frac{n π}{l} x$ $+$ $b_{n}$ $\sin \frac{n π}{l} x$ $)$ .

那么，上述式子中的傅里叶系数之一 $a_{n}$ $=$ $?$

选项

[A].

a_{n}

=

\frac{1}{l}

\int_{- l}^{l}

f (x)

\cos \frac{π}{l} x

d x

[B].

a_{n}

=

\frac{1}{l}

\int_{\frac{- l}{2}}^{\frac{l}{2}}

f (x)

\cos \frac{n π}{l} x

d x

[C].

a_{n}

=

\frac{1}{l}

\int_{- l}^{l}

f (x)

\cos \frac{n π}{l} x

d x

[D].

a_{n}

=

\frac{1}{l}

\int_{- l}^{l}

f (x)

\cos n π l x

d x

答案

$a_{n}$ $=$ $\frac{1}{l}$ $\int_{- l}^{l}$ $f (x)$ $\cos \frac{n π}{l} x$ $d x$ .

其中， $($ $n$ $=$ $0$ , $1$ , $2$ , $\dots$ $)$ .

周期为 $2 l$ 的一般函数的傅里叶展开式（B027）

问题

已知函数

f (x)

是以

2 l

为周期的周期函数，在区间

[- l, l]

上可积。并且，函数

f (x)

能通过展开成三角级数的形式进行傅里叶展开，则以下关于该函数的傅里叶展开式，正确的是哪个？

选项

[A].

f (x)

\sim

\frac{1}{2}

a_{0}

-

\sum_{n = 1}^{\infty}

(

a_{n}

\cos \frac{n π}{l} x

+

b_{n}

\sin \frac{n π}{l} x

)

[B].

f (x)

\sim

2

a_{0}

+

\sum_{n = 1}^{\infty}

(

a_{n}

\cos \frac{n π}{l} x

+

b_{n}

\sin \frac{n π}{l} x

)

[C].

f (x)

\sim

\frac{1}{2}

a_{0}

+

\sum_{n = 1}^{\infty}

(

a_{n}

\cos \frac{n π}{l} x

+

b_{n}

\sin \frac{n π}{l} x

)

[D].

f (x)

\sim

\frac{1}{2}

a_{0}

+

\sum_{n = 1}^{\infty}

(

a_{n}

\sin \frac{n π}{l} x

+

b_{n}

\cos \frac{n π}{l} x

)

答案

$f (x)$ $\sim$

$\frac{1}{2}$ $a_{0}$ $+$ $\sum_{n = 1}^{\infty}$ $($ $a_{n}$ $\cos \frac{n π}{l} x$ $+$ $b_{n}$ $\sin \frac{n π}{l} x$ $)$

周期为 $2 π$ 的一般函数的傅里叶系数： $b_{n}$ （B027）

问题

已知函数

f (x)

是以

2 π

为周期的周期函数，且其傅里叶展开式为：

$f (x)$ $\sim$ $\frac{1}{2}$ $a_{0}$ $+$ $\sum_{n = 1}^{\infty}$ $($ $a_{n}$ $\cos n x$ $+$ $b_{n}$ $\sin n x$ $)$ .

那么，上述式子中的傅里叶系数之一 $b_{n}$ $=$ $?$

选项

[A].

b_{n}

=

\frac{1}{π}

\int_{- π}^{π}

f (x)

\sin x

d x

[B].

b_{n}

=

\frac{1}{π}

\int_{- π}^{π}

f (x)

\cos n x

d x

[C].

b_{n}

=

\frac{1}{π}

\int_{- π}^{π}

f (x)

\sin n x

d x

[D].

b_{n}

=

π

\int_{- π}^{π}

f (x)

\sin n x

d x

答案

$b_{n}$ $=$ $\frac{1}{π}$ $\int_{- π}^{π}$ $f (x)$ $\sin n x$ $d x$ .

其中， $n$ $=$ $1$ , $2$ , $\dots$

周期为 $2 π$ 的一般函数的傅里叶系数： $a_{n}$ （B027）

问题

已知函数

f (x)

是以

2 π

为周期的周期函数，且其傅里叶展开式为：

$f (x)$ $\sim$ $\frac{1}{2}$ $a_{0}$ $+$ $\sum_{n = 1}^{\infty}$ $($ $a_{n}$ $\cos n x$ $+$ $b_{n}$ $\sin n x$ $)$ .

那么，上述式子中的傅里叶系数之一 $a_{n}$ $=$ $?$

选项

[A].

a_{n}

=

\frac{1}{π}

\int_{- π}^{π}

f (x)

\cos n x

d x

[B].

a_{n}

=

\frac{1}{π}

\int_{- π}^{π}

f (x)

\sin n x

d x

[C].

a_{n}

=

\frac{1}{π}

\int_{\frac{- π}{2}}^{\frac{π}{2}}

f (x)

\cos n x

d x

[D].

a_{n}

=

π

\int_{- π}^{π}

f (x)

\cos n x

d x

答案

$a_{n}$ $=$ $\frac{1}{π}$ $\int_{- π}^{π}$ $f (x)$ $\cos n x$ $d x$ .

其中， $n$ $=$ $0$ , $1$ , $2$ , $\dots$

周期为 $2 π$ 的一般函数的傅里叶展开式（B027）

问题

已知函数

f (x)

是以

2 π

为周期的周期函数，并且，函数

f (x)

能通过展开成三角级数的形式进行傅里叶展开，则以下关于该函数的傅里叶展开式，正确的是哪个？

选项

[A].

f (x)

\sim

a_{0}

+

\sum_{n = 1}^{\infty}

(

\frac{a_{n}}{2}

\cos n x

+

\frac{b_{n}}{2}

\sin n x

)

[B].

f (x)

\sim

2

a_{0}

+

\sum_{n = 1}^{\infty}

(

a_{n}

\cos n x

+

b_{n}

\sin n x

)

[C].

f (x)

\sim

\frac{1}{2}

a_{0}

-

\sum_{n = 1}^{\infty}

(

a_{n}

\cos n x

+

b_{n}

\sin n x

)

[D].

f (x)

\sim

\frac{1}{2}

a_{0}

+

\sum_{n = 1}^{\infty}

(

a_{n}

\cos n x

+

b_{n}

\sin n x

)

答案

$f (x)$ $\sim$ $\frac{1}{2}$ $a_{0}$ $+$ $\sum_{n = 1}^{\infty}$ $($ $a_{n}$ $\cos n x$ $+$ $b_{n}$ $\sin n x$ $)$