月度归档： 2022 年 11 月

问题

已知 $p_i$ $($ $i$ $=$ $1$, $2$, $\cdots$, $n$ $)$ 为常数，且，$n$ 阶常系数线性齐次微分方程的一般形式为：
$y^{(n)}$ $+$ $p_1$ $y^{(n-1)}$ $+$ $p_2$ $y^{(n-2)}$ $+$ $\cdots$ $+$ $p_{n-1}$ $y^{\prime }$ $+$ $p_n$ $y$ $=$ $0$.

则，关于该方程对应的特征方程的一般形式，以下选项中正确的是哪个？

选项

[A].   ${\lambda }^n$ $+$ $p_1$ ${\lambda }^{n-1}$ $+$ $p_2$ ${\lambda }^{n-2}$ $+$ $\cdots$ $+$ $p_{n-1}$ $\lambda$ $+$ $p_n$ $=$ $0$

[B].   ${\lambda }^n$ $+$ ${\lambda }^{n-1}$ $+$ ${\lambda }^{n-2}$ $+$ $\cdots$ $+$ $\lambda$ $=$ $0$

[C].   ${\lambda }^n$ $+$ $p_1$ ${\lambda }^{n-1}$ $+$ $p_2$ ${\lambda }^{n-2}$ $+$ $\cdots$ $+$ $p_{n-1}$ $\lambda$ $+$ $p_n$ $=$ $1$

[D].   ${\lambda }^n$ $-$ $p_1$ ${\lambda }^{n-1}$ $-$ $p_2$ ${\lambda }^{n-2}$ $-$ $\cdots$ $-$ $p_{n-1}$ $\lambda$ $-$ $p_n$ $=$ $0$

   答 案   

${\lambda }^n$ $+$ $p_1$ ${\lambda }^{n-1}$ $+$ $p_2$ ${\lambda }^{n-2}$ $+$ $\cdots$ $+$ $p_{n-1}$ $\lambda$ $+$ $p_n$ $=$ $0$

问题

已知 $p_i$ $($ $i$ $=$ $1$, $2$, $\cdots$, $n$ $)$ 为常数，则，关于 $n$ 阶常系数线性齐次微分方程的一般形式，以下选项中正确的是哪个？

选项

[A].   $y^{(n)}$ $+$ $p_1$ $y^{(n-1)}$ $+$ $p_2$ $y^{(n-2)}$ $+$ $\cdots$ $+$ $p_{n-1}$ $y^{\prime }$ $+$ $p_n$ $y$ $=$ $1$

[B].   $y^{(n)}$ $+$ $p_1$ $y^{(n-1)}$ $+$ $p_2$ $y^{(n-2)}$ $+$ $\cdots$ $+$ $p_{n-1}$ $y^{\prime }$ $+$ $p_n$ $y$ $=$ $0$

[C].   $y^{(n+1)}$ $+$ $p_1$ $y^{(n)}$ $+$ $p_2$ $y^{(n-1)}$ $+$ $\cdots$ $+$ $p_{n-2}$ $y^{\prime }$ $+$ $p_{n-1}$ $y$ $=$ $0$

[D].   $P_1$ $y^{(n)}$ $+$ $p_2$ $y^{(n-1)}$ $+$ $p_3$ $y^{(n-2)}$ $+$ $\cdots$ $+$ $p_n$ $y^{\prime }$ $+$ $p_{n+1}$ $y$ $=$ $0$

   答 案   

$y^{(n)}$ $+$ $p_1$ $y^{(n-1)}$ $+$ $p_2$ $y^{(n-2)}$ $+$ $\cdots$ $+$ $p_{n-1}$ $y^{\prime }$ $+$ $p_n$ $y$ $=$ $0$

问题描述

已知，有二阶欧拉方程：

$$x^2{y}^{\prime \prime }+ax{y}^{\prime }+by=f(x)$$

继续阅读“二阶欧拉方程的计算”

问题

已知 $a$ 和 $b$ 为常数，则以下方程中，哪个是二阶欧拉方程？

选项

[A].   $x^2$ $y^{\prime \prime }$ $+$ $a$ $x$ $y^{\prime }$ $+$ $b$ $y$ $=$ $f(x)$

[B].   $x^2$ $y^{\prime \prime }$ $+$ $a$ $x$ $y^{\prime \prime }$ $+$ $b$ $y^{\prime \prime }$ $=$ $f(x)$

[C].   $a$ $x$ $y^{\prime \prime }$ $+$ $x$ $y^{\prime }$ $+$ $b$ $y$ $=$ $f(x)$

[D].   $x^3$ $y^{\prime \prime \prime }$ $+$ $a$ $x^2$ $y^{\prime \prime }$ $+$ $b$ $y$ $=$ $f(x)$

   答 案   

$x^2$ $y^{\prime \prime }$ $+$ $a$ $x$ $y^{\prime }$ $+$ $b$ $y$ $=$ $f(x)$

问题

已知，有二阶常系数线性非齐次方程：

$y^{\prime \prime }$ $+$ $p$ $y^{\prime }$ $+$ $q$ $y$ $=$ $f(x)$.
其中 $p$, $q$ 均为常数.

则，当 $f(x)$ $=$ $P_n(x)$ ${\mathrm{e}}^{\alpha x}$ $\sin \beta x$ 或 $f(x)$ $=$ $P_n(x)$ ${\mathrm{e}}^{\alpha x}$ $\cos \beta x$ 且 $a$ 不是特征根时，该非齐次方程的特解 $y^{\ast }(x)$ $=$ $?$

选项

[A].   $y^{\ast }(x)$ $=$ $x^k$ ${\mathrm{e}}^{\alpha x}$ $[$ $Q_n(x)$ $\cos \beta x$ $-$ $W_n(x)$ $\sin \beta x$ $]$

[B].   $y^{\ast }(x)$ $=$ $x^2$ ${\mathrm{e}}^{\alpha x}$ $[$ $Q_n(x)$ $\cos \beta x$ $+$ $W_n(x)$ $\sin \beta x$ $]$

[C].   $y^{\ast }(x)$ $=$ $x$ ${\mathrm{e}}^{\alpha x}$ $[$ $Q_n(x)$ $\cos \beta x$ $+$ $W_n(x)$ $\sin \beta x$ $]$

[D].   $y^{\ast }(x)$ $=$ ${\mathrm{e}}^{\alpha x}$ $[$ $Q_n(x)$ $\cos \beta x$ $+$ $W_n(x)$ $\sin \beta x$ $]$

   答 案   

$y^{\ast }(x)$ $=$ $x^k$ ${\mathrm{e}}^{\alpha x}$ $[$ $Q_n(x)$ $\cos \beta x$ $+$ $W_n(x)$ $\sin \beta x$ $]$

当 $\alpha$ $\pm$ $i$ $\beta$ 是特征根，$k$ $=$ $1$.

其中 $P_n(x)$ 为 $x$ 的 $n$ 次多项式的一般形式，$Q_n(x)$, $W_n(x)$ 为 $n$ 次多项式的一般形式.

问题

已知，有二阶常系数线性非齐次方程：

$y^{\prime \prime }$ $+$ $p$ $y^{\prime }$ $+$ $q$ $y$ $=$ $f(x)$.
其中 $p$, $q$ 均为常数.

则，当 $f(x)$ $=$ $P_n(x)$ ${\mathrm{e}}^{\alpha x}$ $\sin \beta x$ 或 $f(x)$ $=$ $P_n(x)$ ${\mathrm{e}}^{\alpha x}$ $\cos \beta x$ 且 当 $\alpha$ $\pm$ $i$ $\beta$ 不是特征根时，该非齐次方程的特解 $y^{\ast }(x)$ $=$ $?$

选项

[A].   $y^{\ast }(x)$ $=$ ${\mathrm{e}}^{\alpha x}$ $[$ $Q_n(x)$ $\cos \beta x$ $+$ $W_n(x)$ $\sin \beta x$ $]$

[B].   $y^{\ast }(x)$ $=$ ${\mathrm{e}}^{\alpha x}$ $[$ $Q_n(x)$ $\cos \beta x$ $-$ $W_n(x)$ $\sin \beta x$ $]$

[C].   $y^{\ast }(x)$ $=$ $x^2$ ${\mathrm{e}}^{\alpha x}$ $[$ $Q_n(x)$ $\cos \beta x$ $+$ $W_n(x)$ $\sin \beta x$ $]$

[D].   $y^{\ast }(x)$ $=$ $x$ ${\mathrm{e}}^{\alpha x}$ $[$ $Q_n(x)$ $\cos \beta x$ $+$ $W_n(x)$ $\sin \beta x$ $]$

   答 案   

$y^{\ast }(x)$ $=$ $x^k$ ${\mathrm{e}}^{\alpha x}$ $[$ $Q_n(x)$ $\cos \beta x$ $+$ $W_n(x)$ $\sin \beta x$ $]$

当 $\alpha$ $\pm$ $i$ $\beta$ 不是特征根，$k$ $=$ $0$.

其中 $P_n(x)$ 为 $x$ 的 $n$ 次多项式的一般形式，$Q_n(x)$, $W_n(x)$ 为 $n$ 次多项式的一般形式.

问题

已知，有二阶常系数线性非齐次方程：

$y^{\prime \prime }$ $+$ $p$ $y^{\prime }$ $+$ $q$ $y$ $=$ $f(x)$.
其中 $p$, $q$ 均为常数.

则，当 $f(x)$ $=$ $P_n(x)$ ${\mathrm{e}}^{ax}$ 且 $a$ 是特征方程的重根时，该非齐次方程的特解 $y^{\ast }(x)$ $=$ $?$

选项

[A].   $y^{\ast }(x)$ $=$ $\frac{1}{x^2}$ $R_n(x)$ ${\mathrm{e}}^{ax}$

[B].   $y^{\ast }(x)$ $=$ $R_n(x)$ ${\mathrm{e}}^{ax}$

[C].   $y^{\ast }(x)$ $=$ $x$ $R_n(x)$ ${\mathrm{e}}^{ax}$

[D].   $y^{\ast }(x)$ $=$ $x^2$ $R_n(x)$ ${\mathrm{e}}^{ax}$

   答 案   

$y^{\ast }(x)$ $=$ $x^2$ $R_n(x)$ ${\mathrm{e}}^{ax}$

其中 $P_n(x)$ 为 $x$ 的 $n$ 次多项式，$R_n(x)$ 为 $n$ 次多项式的一般形式.

问题

已知，有二阶常系数线性非齐次方程：

$y^{\prime \prime }$ $+$ $p$ $y^{\prime }$ $+$ $q$ $y$ $=$ $f(x)$.
其中 $p$, $q$ 均为常数.

则，当 $f(x)$ $=$ $P_n(x)$ ${\mathrm{e}}^{ax}$ 且 $a$ 是特征方程的单根时，该非齐次方程的特解 $y^{\ast }(x)$ $=$ $?$

选项

[A].   $y^{\ast }(x)$ $=$ $x$ $R_n(x)$ ${\mathrm{e}}^{ax}$

[B].   $y^{\ast }(x)$ $=$ $\frac{1}{x}$ $R_n(x)$ ${\mathrm{e}}^{ax}$

[C].   $y^{\ast }(x)$ $=$ $x^2$ $R_n(x)$ ${\mathrm{e}}^{ax}$

[D].   $y^{\ast }(x)$ $=$ $R_n(x)$ ${\mathrm{e}}^{ax}$

   答 案   

$y^{\ast }(x)$ $=$ $x$ $R_n(x)$ ${\mathrm{e}}^{ax}$

其中 $P_n(x)$ 为 $x$ 的 $n$ 次多项式，$R_n(x)$ 为 $n$ 次多项式的一般形式.

问题

已知，有二阶常系数线性非齐次方程：

$y^{\prime \prime }$ $+$ $p$ $y^{\prime }$ $+$ $q$ $y$ $=$ $f(x)$.
其中 $p$, $q$ 均为常数.

则，当 $f(x)$ $=$ $P_n(x)$ ${\mathrm{e}}^{ax}$ 且 $a$ 不是特征根时，该非齐次方程的特解 $y^{\ast }(x)$ $=$ $?$

选项

[A].   $y^{\ast }(x)$ $=$ $R_n(x)$ ${\mathrm{e}}^{\frac{x}{a}}$

[B].   $y^{\ast }(x)$ $=$ $x^2$ $R_n(x)$ ${\mathrm{e}}^{ax}$

[C].   $y^{\ast }(x)$ $=$ $x$ $R_n(x)$ ${\mathrm{e}}^{ax}$

[D].   $y^{\ast }(x)$ $=$ $R_n(x)$ ${\mathrm{e}}^{ax}$

   答 案   

$y^{\ast }(x)$ $=$ $R_n(x)$ ${\mathrm{e}}^{ax}$

其中 $P_n(x)$ 为 $x$ 的 $n$ 次多项式，$R_n(x)$ 为 $n$ 次多项式的一般形式.

问题

已知，有二阶常系数线性非齐次方程：

$y^{\prime \prime }$ $+$ $p$ $y^{\prime }$ $+$ $q$ $y$ $=$ $f(x)$.
其中 $p$, $q$ 均为常数.

又已知：
1. 该方程对应的齐次方程的通解为 $Y(x)$;
2. 用待定系数法求出的该非齐次方程的特解为 $y^{\ast }(x)$.

则，该非齐次方程的通解为多少？

选项

[A].   $Y(x)$ $+$ $y^{\ast }(x)$

[B].   $\frac{Y(x)}{y^{\ast }(x)}$

[C].   $Y(x)$ $\times$ $y^{\ast }(x)$

[D].   $Y(x)$ $-$ $y^{\ast }(x)$

   答 案   

$Y(x)$ $+$ $y^{\ast }(x)$

问题

已知，有二阶常系数线性齐次微分方程：

$y^{\prime \prime }$ $+$ $p$ $y^{\prime }$ $+$ $qy$ $=$ $0$.

其中，$p$, $q$ 均为常数.

对应的特征方程为：

${\lambda }^2$ $+$ $p$ $\lambda$ $+$ $q$ $=$ $0$.

则，当上述特征方程的根 $\lambda$ $=$ $\alpha$ $\pm$ $i$ $\beta$ (复根) 时，该微分方程的通解 $y(x)$ $=$ $?$

选项

[A].   $y(x)$ $=$ $($ $C_1$ $+$ $C_2$ $x$ $)$ ${\mathrm{e}}^{{\lambda }_{1}x}$

[B].   $y(x)$ $=$ ${\mathrm{e}}^{\alpha x}$ $($ $C_1$ $\cos \beta x$ $+$ $C_2$ $\sin \beta x$ $)$

[C].   $y(x)$ $=$ $\beta$ ${\mathrm{e}}^{\alpha x}$ $($ $C_1$ $\cos x$ $+$ $C_2$ $\sin x$ $)$

[D].   $y(x)$ $=$ ${\mathrm{e}}^{\alpha x}$ $($ $C_1$ $\cos \beta x$ $+$ $C_2$ $\sin \beta x$ $)$

   答 案   

$y(x)$ $=$ ${\mathrm{e}}^{\alpha x}$ $($ $C_1$ $\cos \beta x$ $+$ $C_2$ $\sin \beta x$ $)$

问题

已知，有二阶常系数线性齐次微分方程：

$y^{\prime \prime }$ $+$ $p$ $y^{\prime }$ $+$ $qy$ $=$ $0$.

其中，$p$, $q$ 均为常数.

则，该方程的特征方程是多少？

选项

[A].   ${\lambda }^2$ $+$ $p$ $\lambda$ $+$ $q$ $=$ $0$

[B].   $\frac{1}{{\lambda }^2}$ $+$ $p$ $\frac{1}{\lambda }$ $+$ $q$ $=$ $0$

[C].   ${\lambda }^{\prime \prime }$ $+$ $p$ $\lambda$ $+$ $q$ $=$ $0$

[D].   ${\lambda }^2$ $+$ $\lambda$ $+$ $=$ $0$

   答 案   

${\lambda }^2$ $+$ $p$ $\lambda$ $+$ $q$ $=$ $0$

问题

已知，有二阶常系数线性齐次微分方程：

$y^{\prime \prime }$ $+$ $p$ $y^{\prime }$ $+$ $qy$ $=$ $0$.

其中，$p$, $q$ 均为常数。

对应的特征方程为：

${\lambda }^2$ $+$ $p$ $\lambda$ $+$ $q$ $=$ $0$.

则，当上述特征方程的根 ${\lambda }_1$ $=$ ${\lambda }_2$ 时，该微分方程的通解 $y(x)$ $=$ $?$

选项

[A].   $y(x)$ $=$ $C_1$ ${\mathrm{e}}^{{\lambda }_{1}x}$ $+$ $C_2$ ${\mathrm{e}}^{{\lambda }_{2}x}$

[B].   $y(x)$ $=$ $($ $C_1$ $x$ $+$ $C_2$ $x$ $)$ ${\mathrm{e}}^{{\lambda }_{1}x}$

[C].   $y(x)$ $=$ $($ $C_1$ $+$ $C_2$ $x$ $)$ ${\mathrm{e}}^{{\lambda }_{1}x}$

[D].   $y(x)$ $=$ ${\lambda }_1$ $($ $C_1$ $+$ $C_2$ $x$ $)$ ${\mathrm{e}}^x$

   答 案   

$y(x)$ $=$ $($ $C_1$ $+$ $C_2$ $x$ $)$ ${\mathrm{e}}^{{\lambda }_{1}x}$

问题

已知，有二阶常系数线性齐次微分方程：

$y^{\prime \prime }$ $+$ $p$ $y^{\prime }$ $+$ $qy$ $=$ $0$.

其中，$p$, $q$ 均为常数。

对应的特征方程为：

${\lambda }^2$ $+$ $p$ $\lambda$ $+$ $q$ $=$ $0$.

则，当上述特征方程的根 ${\lambda }_1$ 和 ${\lambda }_2$ 为互异实根时，该微分方程的通解 $y(x)$ $=$ $?$

选项

[A].   $y(x)$ $=$ $C$ ${\mathrm{e}}^{{\lambda }_{1}x}$ $+$ $C$ ${\mathrm{e}}^{{\lambda }_{2}x}$

[B].   $y(x)$ $=$ $C_1$ ${\mathrm{e}}^{{\lambda }_{1}x}$ $+$ $C_2$ ${\mathrm{e}}^{{\lambda }_{1}x}$

[C].   $y(x)$ $=$ $C_1$ ${\mathrm{e}}^{{\lambda }_{1}x}$ $+$ $C_2$ ${\mathrm{e}}^{{\lambda }_{2}x}$

[D].   $y(x)$ $=$ ${\lambda }_1$ $C_1$ ${\mathrm{e}}^x$ $+$ ${\lambda }_2$ $C_2$ ${\mathrm{e}}^x$

   答 案   

$y(x)$ $=$ $C_1$ ${\mathrm{e}}^{{\lambda }_{1}x}$ $+$ $C_2$ ${\mathrm{e}}^{{\lambda }_{2}x}$

问题

已知，$M(x,y)$ $\mathrm{d}x$ $+$ $N(x,y)$ $\mathrm{d}y$ $=$ $0$ 为全微分方程：$M(x,y)$ $\mathrm{d}x$ $+$ $N(x,y)$ $\mathrm{d}y$ $=$ $0$ $\iff$ $\frac{\partial M}{\partial y}$ $=$ $\frac{\partial N}{\partial x}$

则，该全微分方程的通解 $?$

选项

[A].   $u(x,y)$ $=$ ${\int }_x^{x_0}$ $M(x,y)$ $\mathrm{d}x$ $+$ ${\int }_y^{y_0}$ $N(x,y)$ $\mathrm{d}y$ $=$ $C$

[B].   $u(x,y)$ $=$ ${\int }_{x_0}^x$ $M(x,y)$ $\mathrm{d}x$ $-$ ${\int }_{y_0}^y$ $N(x,y)$ $\mathrm{d}y$ $=$ $C$

[C].   $u(x,y)$ $=$ ${\int }_{x_0}^x$ $M(x,y)$ $\mathrm{d}x$ $+$ ${\int }_{y_0}^y$ $N(x,y)$ $\mathrm{d}y$ $=$ $C$

[D].   $u(x,y)$ $=$ ${\int }_0^x$ $M(x,y)$ $\mathrm{d}x$ $+$ ${\int }_0^y$ $N(x,y)$ $\mathrm{d}y$ $=$ $C$

   答 案   

$u(x,y)$ $=$ ${\int }_{x_0}^x$ $M(x,y)$ $\mathrm{d}x$ $+$ ${\int }_{y_0}^y$ $N(x,y)$ $\mathrm{d}y$ $=$ $C$