考研数学 – 第 128 页

无界函数反常积分的比阶审敛法（B007）

问题

若函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 在区间 $(a, b]$ 内的任意有限区间上可积，$f(x)$ 和 $g(x)$ 均非负，且 $\lim_{x \rightarrow a^{+}}$ $\frac{\textcolor{Orange}{f(x)}}{\textcolor{Red}{g(x)}}$ $=$ $\lambda$, 则以下选项中，完全正确的是哪一项？

在这里，我们令：
$\textcolor{Orange}{F}$ $=$ $\int_{a}^{b}$ $\textcolor{Orange}{f(x)}$ $\mathrm{d} x$, $\textcolor{Red}{G}$ $=$ $\int_{a}^{b}$ $\textcolor{Red}{g(x)}$ $\mathrm{d} x$.

选项

[A].
当 $\lambda$ $\neq$ $0$ 时，$F$ 与 $G$ 的敛散性相同
当 $\lambda$ $=$ $0$ 时， $G$ 发散则 $F$ 发散
当 $\lambda$ $=$ $\infty$ 时，$F$ 收敛则 $G$ 发散

[B].
当 $\lambda$ $\neq$ $0$ 时，$F$ 与 $G$ 的敛散性相同
当 $\lambda$ $=$ $0$ 时， $G$ 收敛则 $F$ 收敛
当 $\lambda$ $=$ $\infty$ 时，$F$ 收敛则 $G$ 发散

[C].
当 $\lambda$ $\neq$ $0$ 时，$F$ 与 $G$ 的敛散性相同
当 $\lambda$ $=$ $0$ 时， $G$ 收敛则 $F$ 收敛
当 $\lambda$ $=$ $\infty$ 时，$F$ 收敛则 $G$ 收敛

[D].
当 $\lambda$ $\neq$ $0$ 时，$F$ 与 $G$ 的敛散性相反
当 $\lambda$ $=$ $0$ 时， $G$ 收敛则 $F$ 收敛
当 $\lambda$ $=$ $\infty$ 时，$F$ 收敛则 $G$ 收敛

答案

当 $\textcolor{Yellow}{\lambda}$ $\textcolor{Green}{\neq}$ $\textcolor{Yellow}{0}$ 时，$\textcolor{Orange}{F}$ 与 $\textcolor{Red}{G}$ 的敛散性相同
当 $\textcolor{Yellow}{\lambda}$ $\textcolor{Green}{=}$ $\textcolor{Yellow}{0}$ 时， $\textcolor{Red}{G}$ 收敛则 $\textcolor{Orange}{F}$ 收敛
当 $\textcolor{Yellow}{\lambda}$ $\textcolor{Green}{=}$ $\textcolor{Yellow}{\infty}$ 时，$\textcolor{Orange}{F}$ 收敛则 $\textcolor{Red}{G}$ 收敛

无界函数反常积分的比较判敛法（B007）

问题

为方便描述，我们这里令：
$\textcolor{Orange}{F}$ $=$ $\int_{a}^{b}$ $\textcolor{Orange}{f(x)}$ $\mathrm{d} x$, $\textcolor{Red}{G}$ $=$ $\int_{a}^{b}$ $\textcolor{Red}{g(x)}$ $\mathrm{d} x$.

若函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 在区间 $(a, b]$ 上连续，$x$ $=$ $a$ 为瑕点，且 $0$ $\leqslant$ $\textcolor{Orange}{f(x)}$ $\leqslant$ $\textcolor{Red}{g(x)}$, 则以下选项中，正确的是哪个？

选项

[A].
若 $F$ 收敛，则 $G$ 收敛
若 $F$ 发散，则 $G$ 发散

[B].
若 $G$ 收敛，则 $F$ 发散
若 $F$ 发散，则 $G$ 发散

[C].
若 $G$ 收敛，则 $F$ 收敛
若 $F$ 发散，则 $G$ 收敛

[D].
若 $G$ 收敛，则 $F$ 收敛
若 $F$ 发散，则 $G$ 发散

答案

若 $\textcolor{Red}{G}$ 收敛，则 $\textcolor{Orange}{F}$ 收敛
若 $\textcolor{Orange}{F}$ 发散，则 $\textcolor{Red}{G}$ 发散

其中：

$0$ $\leqslant$ $\textcolor{Orange}{f(x)}$ $\leqslant$ $\textcolor{Red}{g(x)}$

$\textcolor{Orange}{F}$ $=$ $\int_{a}^{b}$ $\textcolor{Orange}{f(x)}$ $\mathrm{d} x$

$\textcolor{Red}{G}$ $=$ $\int_{a}^{b}$ $\textcolor{Red}{g(x)}$ $\mathrm{d} x$

无穷限反常积分的极限审敛法：$\lim_{x \rightarrow +\infty}$ $x f(x)$ $\mathrm{d} x$（B007）

问题

若函数 $f(x)$ 在区间 $[a, +\infty)$ 上连续，且 $f(x)$ $\geqslant$ $0$, 则以下关于反常积分 $\textcolor{Orange}{\int_{a}^{+\infty}}$ $\textcolor{Orange}{f(x)}$ $\textcolor{Orange}{\mathrm{d} x}$ 的结论中，正确的是哪一项？

选项

[A]. 若有 $\lambda$ $>$ $0$ 或者 $\lambda$ $=$ $+\infty$, 使得 $\lim_{x \rightarrow +\infty}$ $x f(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\lambda$, 则 $\int_{a}^{+\infty}$ $x f(x)$ $\mathrm{d} x$ 发散

[B]. 若有 $\lambda$ $>$ $0$ 或者 $\lambda$ $=$ $-\infty$, 使得 $\lim_{x \rightarrow +\infty}$ $x f(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\lambda$, 则 $\int_{a}^{+\infty}$ $x f(x)$ $\mathrm{d} x$ 收敛

[C]. 若有 $\lambda$ $<$ $0$ 或者 $\lambda$ $=$ $+\infty$, 使得 $\lim_{x \rightarrow +\infty}$ $x f(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\lambda$, 则 $\int_{a}^{+\infty}$ $x f(x)$ $\mathrm{d} x$ 发散

[D]. 若有 $\lambda$ $>$ $0$ 或者 $\lambda$ $=$ $+\infty$, 使得 $\lim_{x \rightarrow +\infty}$ $x f(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\lambda$, 则 $\int_{a}^{+\infty}$ $x f(x)$ $\mathrm{d} x$ 收敛

答案

若有 $\textcolor{Orange}{\lambda}$ $\textcolor{Green}{>}$ $\textcolor{Orange}{0}$ 或者 $\textcolor{Orange}{\lambda}$ $\textcolor{Green}{=}$ $\textcolor{Orange}{+\infty}$, 使得 $\lim_{x \rightarrow +\infty}$ $\big[$ $\textcolor{Red}{x} \textcolor{Green}{\cdot} \textcolor{Red}{f(x)}$ $\big]$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\textcolor{Orange}{\lambda}$, 则 $\int_{a}^{+\infty}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ 发散

无穷限反常积分的极限审敛法：$\lim_{x \rightarrow +\infty}$ $x^{p} f(x)$（B007）

问题

选项

[A]. 若有 $p$ $>$ $1$, 使得 $\lim_{x \rightarrow +\infty}$ $x^{p} f(x)$ $=$ $\lambda$, 其中 $0$ $\leqslant$ $\lambda$ $<$ $+\infty$, 则 $\int_{a}^{+\infty}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ 发散

[B]. 若有 $p$ $>$ $0$, 使得 $\lim_{x \rightarrow +\infty}$ $x^{p} f(x)$ $=$ $\lambda$, 其中 $0$ $\leqslant$ $\lambda$ $<$ $+\infty$, 则 $\int_{a}^{+\infty}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ 收敛

[C]. 若有 $p$ $>$ $1$, 使得 $\lim_{x \rightarrow +\infty}$ $x^{p} f(x)$ $=$ $\lambda$, 其中 $0$ $\leqslant$ $\lambda$ $<$ $+\infty$, 则 $\int_{a}^{+\infty}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ 收敛

[D]. 若有 $p$ $>$ $0$, 使得 $\lim_{x \rightarrow +\infty}$ $x^{p} f(x)$ $=$ $\lambda$, 其中 $0$ $\leqslant$ $\lambda$ $<$ $+\infty$, 则 $\int_{a}^{+\infty}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ 发散

答案

若有 $\textcolor{Orange}{p}$ $\textcolor{Orange}{>}$ $\textcolor{Orange}{1}$, 使得 $\lim_{\textcolor{Orange}{x} \textcolor{Green}{\rightarrow} \textcolor{Orange}{+\infty}}$ $\big[$ $\textcolor{Red}{x^{p}} \textcolor{Green}{\cdot} \textcolor{Red}{f(x)}$ $\big]$ $=$ $\textcolor{Orange}{\lambda}$, 其中 $\textcolor{Orange}{0}$ $\textcolor{Orange}{\leqslant}$ $\textcolor{Orange}{\lambda}$ $\textcolor{Orange}{<}$ $\textcolor{Orange}{+\infty}$, 则 $\int_{a}^{+\infty}$ $\textcolor{Red}{f(x)}$ $\mathrm{d} x$ 收敛.

无穷限反常积分的比阶审敛法（B007）

问题

为了方便描述和练习，我们在这里令：
$\textcolor{Orange}{F}$ $=$ $\int_{a}^{+\infty}$ $\textcolor{Orange}{f(x)}$ $\mathrm{d} x$
$\textcolor{Red}{G}$ $=$ $\int_{a}^{+\infty}$ $\textcolor{Red}{g(x)}$ $\mathrm{d} x$

若函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 在区间 $[a, +\infty)$ 内的任意有限区间上可积，$f(x)$ 和 $g(x)$ 均非负，且 $\lim_{x \rightarrow +\infty}$ $\frac{\textcolor{Orange}{f(x)}}{\textcolor{Red}{g(x)}}$ $=$ $\lambda$, 则以下选项中，正确的是哪个？

选项

[A].
当 $\lambda$ $\neq$ $0$ 时，$F$ 和 $G$ 敛散性相同
当 $\lambda$ $=$ $0$ 时，$G$ 收敛则 $F$ 发散
当 $\lambda$ $=$ $\infty$ 时，$F$ 收敛则 $G$ 收敛

[B].
当 $\lambda$ $\neq$ $0$ 时，$F$ 和 $G$ 敛散性相同
当 $\lambda$ $=$ $0$ 时，$G$ 收敛则 $F$ 收敛
当 $\lambda$ $=$ $\infty$ 时，$F$ 发散则 $G$ 发散

[C].
当 $\lambda$ $\neq$ $0$ 时，$F$ 和 $G$ 敛散性相反
当 $\lambda$ $=$ $0$ 时，$G$ 收敛则 $F$ 收敛
当 $\lambda$ $=$ $\infty$ 时，$F$ 收敛则 $G$ 收敛

[D].
当 $\lambda$ $\neq$ $0$ 时，$F$ 和 $G$ 敛散性相同
当 $\lambda$ $=$ $0$ 时，$G$ 收敛则 $F$ 收敛
当 $\lambda$ $=$ $\infty$ 时，$F$ 收敛则 $G$ 收敛

答案

（1）当 $\lambda$ $\neq$ $0$ 时，$\textcolor{Orange}{F}$ 和 $\textcolor{Red}{G}$ 敛散性相同 $\Rightarrow$ 若 $\lambda$ 为不等于 $0$ 的常数，则表明 $\textcolor{Orange}{F}$ 和 $\textcolor{Red}{G}$ 在大小上并没有产生不同级别的差距，因此具有相同的敛散性.

（2）当 $\lambda$ $=$ $0$ 时，$\textcolor{Red}{G}$ 收敛则 $\textcolor{Orange}{F}$ 收敛 $\Rightarrow$ 若 $\lambda$ $=$ $0$, 则表明 $\textcolor{Orange}{F}$ 远小于 $\textcolor{Red}{G}$, 由于“大收小必收”，于是可知，较大的 $\textcolor{Red}{G}$ 收敛就意味着较小的 $\textcolor{Orange}{F}$ 也一定收敛.

（3）当 $\lambda$ $=$ $\infty$ 时，$\textcolor{Orange}{F}$ 收敛则 $\textcolor{Red}{G}$ 收敛 $\Rightarrow$ 若 $\lambda$ $=$ $\infty$, 则表明 $\textcolor{Orange}{F}$ 远大于 $\textcolor{Red}{G}$, 由于“小发大必发”，于是可知，较小的 $\textcolor{Red}{G}$ 发散就意味着较大的 $\textcolor{Orange}{F}$ 也一定发散.

每日一题：计算复合函数 $f[f(x)]$

一、题目描述

若 $f(x)$ $=$ $\begin{cases} & 1, |x| \leqslant 1, \\ & 0, |x| > 1, \end{cases}$ 则复合函数 $f[f(x)]$ $=$ $?$

继续阅读

无穷限反常积分的比较审敛法（B007）

问题

已知，在 $x$ $\in$ $[a, +\infty)$ 上，函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 连续，且 $\textcolor{Orange}{0}$ $\textcolor{Orange}{\leqslant}$ $\textcolor{Orange}{f(x)}$ $\textcolor{Orange}{\leqslant}$ $\textcolor{Orange}{g(x)}$, 则反常积分 $\textcolor{Orange}{A}$ $\textcolor{Orange}{=}$ $\textcolor{Orange}{\int_{0}^{+\infty}}$ $\textcolor{Orange}{g(x)}$ $\textcolor{Orange}{\mathrm{d} x}$ 和 $\textcolor{Orange}{B}$ $\textcolor{Orange}{=}$ $\textcolor{Orange}{\int_{0}^{+\infty}}$ $\textcolor{Orange}{f(x)}$ $\textcolor{Orange}{\mathrm{d} x}$ 的敛散性之间有什么关系？

选项

[A]. $\begin{cases} & A 收敛则 B 收敛 \\ & A 发散则 B 发散 \end{cases}$

[B]. $\begin{cases} & A 收敛则 B 发散 \\ & B 发散则 A 收敛 \end{cases}$

[C]. $\begin{cases} & A 收敛则 B 收敛 \\ & B 发散则 A 发散 \end{cases}$

[D]. $\begin{cases} & B 收敛则 A 收敛 \\ & B 发散则 A 发散 \end{cases}$

答案

$$\begin{cases} & \textcolor{Red}{A} 收敛则 \textcolor{Orange}{B} 收敛 \\ & \textcolor{Orange}{B} 发散则 \textcolor{Red}{A} 发散 \end{cases}$$其中：$\textcolor{Red}{A}$ $=$ $\int_{0}^{+\infty}$ $\textcolor{Red}{g(x)}$ $\mathrm{d} x$ $\mathrm{d} x$, $\textcolor{Orange}{B}$ $=$ $\int_{0}^{+\infty}$ $\textcolor{Orange}{f(x)}$ $\mathrm{d} x$.

$\textcolor{Green}{0}$ $\textcolor{Green}{\leqslant}$ $\textcolor{Orange}{f(x)}$ $\textcolor{Green}{\leqslant}$ $\textcolor{Red}{g(x)}$ $\Rightarrow$ $\textcolor{Green}{0}$ $\textcolor{Green}{\leqslant}$ $\textcolor{Orange}{B}$ $\textcolor{Green}{\leqslant}$ $\textcolor{Red}{A}$

反常积分 $\int_{a}^{b}$ $\frac{1}{(x – a)^{p}}$ $\mathrm{d} x$ 的敛散性（B007）

问题

以下关于反常积分 $\textcolor{Orange}{\int_{a}^{b}}$ $\textcolor{Orange}{\frac{1}{(x – a)^{p}}}$ $\textcolor{Orange}{\mathrm{d} x}$（其中 $a$ 为任意常数.）[敛散性] 的选项中，正确的是哪一个？

选项

[A]. $\int_{a}^{b}$ $\frac{1}{(x – a)^{p}}$ $\mathrm{d} x$ $\begin{cases} & 收敛, p \geqslant 1, \\ & 发散, p \leqslant 1 \end{cases}$

[B]. $\int_{a}^{b}$ $\frac{1}{(x – a)^{p}}$ $\mathrm{d} x$ $\begin{cases} & 收敛, p < 1, \\ & 发散, p \geqslant 1 \end{cases}$

[C]. $\int_{a}^{b}$ $\frac{1}{(x – a)^{p}}$ $\mathrm{d} x$ $\begin{cases} & 收敛, p \leqslant 1, \\ & 发散, p < 1 \end{cases}$

[D]. $\int_{a}^{b}$ $\frac{1}{(x – a)^{p}}$ $\mathrm{d} x$ $\begin{cases} & 收敛, p \geqslant 1, \\ & 发散, p < 1 \end{cases}$

答案

$$\int_{\textcolor{Orange}{a}}^{\textcolor{Orange}{+\infty}} \frac{\textcolor{Red}{1}}{\textcolor{Red}{(x – a)^{p}}} \mathrm{d} x$$ $$\textcolor{Green}{\Rightarrow}$$ $$\begin{cases} & 收敛, p \textcolor{Red}{<} 1, \\ & 发散, p \textcolor{Red}{\geqslant} 1 \end{cases}$$ 其中，$a$ 为任意常数.

反常积分 $\int_{a}^{b}$ $\frac{1}{(x - a)^{p}}$ $\mathrm{d} x$ 的敛散性 | 荒原之梦 — 图 01. 红色曲线为函数 $y$ $=$ $\frac{1}{x^{2}}$ 的图像，蓝色曲线为函数 $y$ $=$ $\frac{1}{x}$ 的图像.

反常积分 $\int_{a}^{+\infty}$ $\frac{1}{x \ln^{p} x}$ $\mathrm{d} x$ 的敛散性（B007）

问题

以下关于反常积分 $\textcolor{Orange}{\int_{a}^{+\infty}}$ $\textcolor{Orange}{\frac{1}{x \ln^{p} x}}$ $\textcolor{Orange}{\mathrm{d} x}$（其中 $a$ $>$ $1$）[敛散性] 的选项中，正确的是哪一个？

选项

[A]. $\int_{a}^{+\infty}$ $\frac{1}{x \ln^{p} x}$ $\mathrm{d} x$ $\begin{cases} & 收敛, p \geqslant 1, \\ & 发散, p \leqslant 1 \end{cases}$

[B]. $\int_{a}^{+\infty}$ $\frac{1}{x \ln^{p} x}$ $\mathrm{d} x$ $\begin{cases} & 收敛, p > 1, \\ & 发散, p \leqslant 1 \end{cases}$

[C]. $\int_{a}^{+\infty}$ $\frac{1}{x \ln^{p} x}$ $\mathrm{d} x$ $\begin{cases} & 收敛, p \leqslant 1, \\ & 发散, p > 1 \end{cases}$

[D]. $\int_{a}^{+\infty}$ $\frac{1}{x \ln^{p} x}$ $\mathrm{d} x$ $\begin{cases} & 收敛, p \geqslant 1, \\ & 发散, p < 1 \end{cases}$

答案

$$\int_{\textcolor{Orange}{a}}^{\textcolor{Orange}{+\infty}} \frac{\textcolor{Red}{1}}{\textcolor{Red}{x \ln^{p} x}} \mathrm{d} x$$ $$\textcolor{Green}{\Rightarrow}$$ $$\begin{cases} & 收敛, p \textcolor{Red}{>} 1, \\ & 发散, p \textcolor{Red}{\leqslant} 1 \end{cases}$$其中，$a$ $>$ $1$.

反常积分 $\int_{a}^{+\infty}$ $\frac{1}{x \ln^{p} x}$ $\mathrm{d} x$ 的敛散性 | 荒原之梦 — 图 01. 红色曲线为函数 $y$ $=$ $\frac{1}{x \ln x}$ 在区间 $[1, +\infty)$ 上的图像，蓝色曲线为函数 $y$ $=$ $\frac{1}{x (\ln x)^{2}}$ 在区间 $[1, +\infty)$ 上的图像。

反常积分 $\int_{a}^{+\infty}$ $\frac{1}{x^{p}}$ $\mathrm{d} x$ 的敛散性（B007）

问题

以下关于反常积分 $\textcolor{Orange}{\int_{a}^{+\infty}}$ $\textcolor{Orange}{\frac{1}{x^{p}}}$ $\textcolor{Orange}{\mathrm{d} x}$（其中 $a$ $>$ $0$）[敛散性] 的选项中，正确的是哪一个？

选项

[A]. $\int_{a}^{+\infty}$ $\frac{1}{x^{p}}$ $\mathrm{d} x$ $\begin{cases} & 收敛, p \leqslant 1, \\ & 发散, p > 1 \end{cases}$

[B]. $\int_{a}^{+\infty}$ $\frac{1}{x^{p}}$ $\mathrm{d} x$ $\begin{cases} & 收敛, p \geqslant 1, \\ & 发散, p < 1 \end{cases}$

[C]. $\int_{a}^{+\infty}$ $\frac{1}{x^{p}}$ $\mathrm{d} x$ $\begin{cases} & 收敛, p \geqslant 1, \\ & 发散, p \leqslant 1 \end{cases}$

[D]. $\int_{a}^{+\infty}$ $\frac{1}{x^{p}}$ $\mathrm{d} x$ $\begin{cases} & 收敛, p > 1, \\ & 发散, p \leqslant 1 \end{cases}$

答案

$$\int_{\textcolor{Orange}{a}}^{\textcolor{Orange}{+\infty}} \frac{\textcolor{Red}{1}}{\textcolor{Red}{x^{p}}} \mathrm{d} x$$ $$\textcolor{Green}{\Rightarrow}$$ $$\begin{cases} & 收敛, p \textcolor{Red}{>} 1, \\ & 发散, p \textcolor{Red}{\leqslant} 1 \end{cases}$$其中，$a$ $>$ $0$.

反常积分 $\int_{a}^{+\infty}$ $\frac{1}{x^{p}}$ $\mathrm{d} x$ 的敛散性 | 高等数学 — 图 01. 红色曲线表示函数 $y$ $=$ $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ 的图像，蓝色曲线表示函数 $y$ $=$ $\frac{1}{x^{2}}$ 在 $x$ 轴正半轴上的图像.

中间无界的瑕积分（B007）

问题

已知 $\textcolor{Orange}{c}$ $\textcolor{Orange}{\in}$ $\textcolor{Orange}{[a, b]}$, 若当 $\textcolor{Orange}{x}$ $\textcolor{Orange}{\rightarrow}$ $\textcolor{Orange}{c}$ 的时候，函数 $f(x)$ 无界，则以下关于瑕积分 $\textcolor{Orange}{\int_{a}^{b}}$ $\textcolor{Orange}{f(x)}$ $\textcolor{Orange}{\mathrm{d} x}$ 的结论中，正确的是哪个？

选项

[A]. $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\lim_{\xi \rightarrow 0^{+}}$ $\int_{a}^{c – \xi}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $-$ $\lim_{\mu \rightarrow 0^{+}}$ $\int_{c + \mu}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$

[B]. $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\lim_{\xi \rightarrow 0^{-}}$ $\int_{a}^{c – \xi}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $+$ $\lim_{\mu \rightarrow 0^{-}}$ $\int_{c + \mu}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$

[C]. $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\lim_{\xi \rightarrow 0^{+}}$ $\int_{a}^{c – \xi}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $+$ $\lim_{\mu \rightarrow 0^{+}}$ $\int_{c + \mu}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$

[D]. $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\lim_{\xi \rightarrow 0^{+}}$ $\int_{a}^{c + \xi}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $+$ $\lim_{\mu \rightarrow 0^{+}}$ $\int_{c – \mu}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$

答案

$$\int_{\textcolor{Red}{a}}^{\textcolor{Red}{b}} f(x) \mathrm{d} x =$$ $$\lim_{\textcolor{Orange}{\xi} \textcolor{Green}{\rightarrow} \textcolor{Orange}{0}^{\textcolor{Red}{+}}} \int_{\textcolor{Red}{a}}^{\textcolor{Red}{c} \textcolor{Green}{-} \textcolor{Orange}{\xi}} f(x) \mathrm{d} x$$ $$\textcolor{Green}{+}$$ $$\lim_{\textcolor{Orange}{\mu} \textcolor{Green}{\rightarrow} \textcolor{Orange}{0}^{\textcolor{Red}{+}}} \int_{\textcolor{Red}{c} \textcolor{Green}{+} \textcolor{Orange}{\mu}}^{\textcolor{Red}{b}} f(x) \mathrm{d} x.$$ 注意：当 $\xi$ $\rightarrow$ $0^{\textcolor{Red}{+}}$ 时，$($ $c$ $-$ $\xi$ $)$ $\rightarrow$ $c^{\textcolor{Red}{-}}$; 当 $\mu$ $\rightarrow$ $0^{\textcolor{Red}{+}}$ 时，$($ $c$ $+$ $\mu$ $)$ $\rightarrow$ $c^{\textcolor{Red}{+}}$

下界无界的瑕积分（B007）

问题

若当 $\textcolor{Orange}{x}$ $\textcolor{Orange}{\rightarrow}$ $\textcolor{Orange}{a^{+}}$ 的时候，函数 $f(x)$ 无界，则以下关于瑕积分 $\textcolor{Orange}{\int_{a}^{b}}$ $\textcolor{Orange}{f(x)}$ $\textcolor{Orange}{\mathrm{d} x}$ 的结论中，正确的是哪个？

选项

[A]. $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\lim_{\xi \rightarrow 0^{-}}$ $\int_{a + \xi}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$

[B]. $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\lim_{\xi \rightarrow 0}$ $\int_{a + \xi}^{bi}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$

[C]. $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\lim_{\xi \rightarrow 0^{+}}$ $\int_{a + \xi}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$

[D]. $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\lim_{\xi \rightarrow 0^{+}}$ $\int_{a – \xi}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$

答案

上界无界的瑕积分（B007）

问题

若当 $\textcolor{Orange}{x}$ $\textcolor{Orange}{\rightarrow}$ $\textcolor{Orange}{b^{-}}$ 的时候，函数 $f(x)$ 无界，则以下关于瑕积分 $\textcolor{Orange}{\int_{a}^{b}}$ $\textcolor{Orange}{f(x)}$ $\textcolor{Orange}{\mathrm{d} x}$ 的结论中，正确的是哪个？

选项

[A]. $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\lim_{\xi \rightarrow 0}$ $\int_{a}^{b – \xi}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$

[B]. $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\lim_{\xi \rightarrow 0^{+}}$ $\int_{a}^{b – \xi}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$

[C]. $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\lim_{\xi \rightarrow 0^{+}}$ $\int_{a}^{b + \xi}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$

[D]. $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\lim_{\xi \rightarrow 0^{-}}$ $\int_{a}^{b – \xi}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$

答案

第三类无穷限的反常积分：$\int_{-\infty}^{+\infty}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$（B007）

问题

以下关于无穷限的反常积分 $\textcolor{Orange}{\int_{- \infty}^{+\infty}}$ $\textcolor{Orange}{f(x)}$ $\textcolor{Orange}{\mathrm{d} x}$ 的结论中，正确的是哪个？

选项

[A]. $\int_{- \infty}^{+\infty}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\lim_{a \rightarrow – \infty}$ $\int_{a}^{c}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $+$ $\lim_{b \rightarrow + \infty}$ $\int_{b}^{c}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$

[B]. $\int_{- \infty}^{+\infty}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\lim_{a \rightarrow + \infty}$ $\int_{a}^{c}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $+$ $\lim_{b \rightarrow – \infty}$ $\int_{c}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$

[C]. $\int_{- \infty}^{+\infty}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\lim_{a \rightarrow – \infty}$ $\int_{a}^{c}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $+$ $\lim_{b \rightarrow + \infty}$ $\int_{c}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$

[D]. $\int_{- \infty}^{+\infty}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\lim_{a \rightarrow – \infty}$ $\int_{c}^{a}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $+$ $\lim_{b \rightarrow + \infty}$ $\int_{b}^{c}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$

答案

$$\int_{\textcolor{Red}{- \infty}}^{\textcolor{Red}{+\infty}} f(x) \mathrm{d} x =$$

$$\int_{\textcolor{Red}{- \infty}}^{\textcolor{Yellow}{c}} f(x) \mathrm{d} x$$ $$\textcolor{Green}{+}$$ $$\int_{\textcolor{Yellow}{c}}^{\textcolor{Red}{+ \infty}} f(x) \mathrm{d} x =$$

$$\lim_{\textcolor{Yellow}{a} \textcolor{Green}{\rightarrow} \textcolor{Red}{- \infty}} \int_{\textcolor{Yellow}{a}}^{\textcolor{Yellow}{c}} f(x) \mathrm{d} x$$ $$\textcolor{Green}{+}$$ $$\lim_{\textcolor{Yellow}{b} \textcolor{Green}{\rightarrow} \textcolor{Red}{+ \infty}} \int_{\textcolor{Yellow}{c}}^{\textcolor{Yellow}{b}} f(x) \mathrm{d} x.$$

第二类无穷限的反常积分：$\int_{- \infty}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$（B007）

问题

以下关于无穷限的反常积分 $\textcolor{Orange}{\int_{- \infty}^{b}}$ $\textcolor{Orange}{f(x)}$ $\textcolor{Orange}{\mathrm{d} x}$ 的结论中，正确的是哪个？

选项

[A]. $\int_{- \infty}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\lim_{b \rightarrow – \infty}$ $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrel{d} x$

[B]. $\int_{- \infty}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\lim_{a \rightarrow – \infty}$ $\int_{b}^{a}$ $f(x)$ $\mathrel{d} x$

[C]. $\int_{- \infty}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\lim_{a \rightarrow + \infty}$ $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrel{d} x$

[D]. $\int_{- \infty}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\lim_{a \rightarrow – \infty}$ $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrel{d} x$

答案

$$\int_{\textcolor{Red}{- \infty}}^{\textcolor{Red}{b}} f(x) \mathrm{d} x =$$ $$\lim_{\textcolor{Orange}{a} \textcolor{Green}{\rightarrow} \textcolor{Orange}{- \infty}} \int_{\textcolor{Red}{a}}^{\textcolor{Red}{b}} f(x) \mathrel{d} x$$