线性代数归档 - 第35页共41页

问题

已知

A

为

n

可逆方阵，则

| A^{- 1} |

=

?

选项

[A].

| A^{- 1} |

=

(- 1)^{n}

\frac{1}{| A |}

[B].

| A^{- 1} |

=

\frac{1}{| A |^{n}}

[C].

| A^{- 1} |

=

- | A |

[D].

| A^{- 1} |

=

\frac{1}{| A |}

答案

$| A^{- 1} |$ $=$ $\frac{1}{| A |}$

问题

已知

A

为

n

阶方阵，则

| A^{k} |

=

?

选项

[A].

| A^{k} |

=

| A |^{k}

[B].

| A^{k} |

=

| A |^{\frac{1}{k}}

[C].

| A^{k} |

=

(- 1)^{k} | A |^{k}

[D].

| A^{k} |

=

k | A |

答案

$| A^{k} |$ $=$ $| A |^{k}$

问题

已知

A

B

均为

n

阶方阵，则，根据方阵的交换律，

| A B |

=

?

选项

[A].

| A B |

=

| A |

\times

| B |

[B].

| A B |

=

| A |

+

| B |

[C].

| A B |

=

-

| B A |

[D].

| A B |

=

| B A |

答案

$| A B |$ $=$ $| B A |$ $=$ $| A | | B |$

问题

已知

A

为

n

阶方阵，

λ

为常数，则

| λ A |

=

?

选项

[A].

| λ A |

=

-

| A |

[B].

| λ A |

=

(\frac{1}{λ})^{n}

| A |

[C].

| λ A |

=

| A |

[D].

| λ A |

=

λ^{n - 1}

| A |

答案

$| λ A |$ $=$ $λ^{n}$ $| A |$

问题

已知

A

为

n

阶方阵，则

| A^{T} |

=

?

选项

[A].

| A^{T} |

=

| A |

[B].

| A^{T} |

=

| A |

| A |

[C].

| A^{T} |

=

(- 1)^{n}

| A |

[D].

| A^{T} |

=

- | A |

答案

$| A^{T} |$ $=$ $| A |$

问题

已知，有范德蒙行列式

D_{n}

=

| \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ x_{1} & x_{2} & x_{3} \\ x_{1}^{2} & x_{2}^{2} & x_{3}^{2} \end{array} |

则，下面对该行列式的计算结果，正确的是哪个？

选项

[A].

D

=

(x_{2} - x_{1})

\cdot

(x_{3} - x_{1})

[B].

D

=

(x_{2} + x_{1})

\cdot

(x_{3} + x_{1})

\cdot

(x_{3} + x_{2})

[C].

D

=

(x_{2} - x_{1})

+

(x_{3} - x_{1})

+

(x_{3} - x_{2})

[D].

D

=

(x_{3} - x_{2} - x_{1})

答案

$| \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ x_{1} & x_{2} & x_{3} \\ x_{1}^{2} & x_{2}^{2} & x_{3}^{2} \end{array} |$ $=$ $(x_{2} - x_{1})$ $\cdot$ $(x_{3} - x_{1})$ $\cdot$ $(x_{3} - x_{2})$

范德蒙行列式的通用计算方式如下：

$| \begin{array}{ccccc} 1 & 1 & 1 & \dots & 1 \\ x_{1} & x_{2} & x_{3} & \dots & x_{n} \\ x_{1}^{2} & x_{2}^{2} & x_{3}^{2} & \dots & x_{n}^{2} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ x_{1}^{n - 1} & x_{2}^{n - 1} & x_{3}^{n - 1} & \dots & x_{n}^{n - 1} \end{array} |$ $=$

$\prod_{1 \leq j < i \leq n}$ $(x_{i} - x_{j})$
总结：用右边的元素把左边的元素全减一遍并相乘。

范德蒙行列式的形式（C004）

问题

以下哪个选项是范德蒙行列式

D_{n}

的正确形式？

选项

[A].

D_{n}

=

| \begin{array}{ccc} x_{1} & x_{2} & x_{3} \\ x_{1}^{2} & x_{2}^{2} & x_{3}^{2} \\ x_{1}^{3} & x_{2}^{3} & x_{3}^{3} \end{array} |

[B].

D_{n}

=

| \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ x_{1} & x_{2} & x_{3} \\ x_{1}^{2} & x_{2}^{2} & x_{3}^{2} \end{array} |

[C].

D_{n}

=

| \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ x_{1} & x_{2} & x_{3} \\ x_{1}^{2} & x_{2}^{2} & x_{3}^{2} \end{array} |

[D].

D_{n}

=

| \begin{array}{ccc} x_{1} & x_{2} & x_{3} \\ 2 x_{1} & 2 x_{2} & 2 x_{3} \\ 3 x_{1} & 3 x_{2} & 3 x_{3} \end{array} |

答案

$D_{n}$ $=$ $| \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ x_{1} & x_{2} & x_{3} \\ x_{1}^{2} & x_{2}^{2} & x_{3}^{2} \end{array} |$

范德蒙行列式的通用形式：

$| \begin{array}{ccccc} x_{1}^{0} & x_{2}^{0} & x_{3}^{0} & \dots & x_{n}^{0} \\ x_{1}^{1} & x_{2}^{1} & x_{3}^{1} & \dots & x_{n}^{1} \\ x_{1}^{2} & x_{2}^{2} & x_{3}^{2} & \dots & x_{n}^{2} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ x_{1}^{n - 1} & x_{2}^{n - 1} & x_{3}^{n - 1} & \dots & x_{n}^{n - 1} \end{array} |$ $\Rightarrow$

行列式的简化：反下三角区域存在方阵（C004）

问题

如果

A

为

m

阶方阵，

B

为

n

阶方阵，且行列式

D

=

| \begin{array}{cc} O & A \\ B & C \end{array} |

则，如果利用 $A$ 和 $B$ 对行列式 $D$ 作化简运算？

选项

[A].

D

=

(- 1)^{m + n}

| A |

| B |

[B].

D

=

| A |

+

| B |

[C].

D

=

| A | | B |

[D].

D

=

(- 1)^{m n}

| A | | B |

答案

$| \begin{array}{cc} O & A \\ B & C \end{array} |$ $=$ $(- 1)^{m n}$ $| A | | B |$

行列式的简化：反上三角区域存在方阵（C004）

问题

如果

A

为

m

阶方阵，

B

为

n

阶方阵，且行列式

D

=

| \begin{array}{ll} C & A \\ B & O \end{array} |

则，如果利用 $A$ 和 $B$ 对行列式 $D$ 作化简运算？

选项

[A].

D

=

(- 1)^{m n}

| A | | B |

[B].

D

=

(- 1)^{m + n}

| A |

| B |

[C].

D

=

| A |

+

| B |

[D].

D

=

| A | | B |

答案

$| \begin{array}{ll} C & A \\ B & O \end{array} |$ $=$ $(- 1)^{m n}$ $| A | | B |$

行列式的简化：副对角线区域存在方阵（C004）

问题

如果

A

为

m

阶方阵，

B

为

n

阶方阵，且行列式

D

=

| \begin{array}{ll} O & A \\ B & O \end{array} |

则，如果利用 $A$ 和 $B$ 对行列式 $D$ 作化简运算？

选项

[A].

D

=

| A |

+

| B |

[B].

D

=

| A | | B |

[C].

D

=

(- 1)^{m n}

| A | | B |

[D].

D

=

(- 1)^{m + n}

| A |

| B |

答案

$| \begin{array}{ll} O & A \\ B & O \end{array} |$ $=$ $(- 1)^{m n}$ $| A | | B |$

行列式的简化：下三角区域存在方阵（C004）

问题

如果

A

为

m

阶方阵，

B

为

n

阶方阵，且行列式

D

=

| \begin{array}{ll} A & O \\ C & B \end{array} |

则，如果利用 $A$ 和 $B$ 对行列式 $D$ 作化简运算？

选项

[A].

D

=

| A B |

[B].

D

=

| A | | B |

[C].

D

=

\frac{| A |}{| B |}

[D].

D

=

| A |

+

| B |

答案

$| \begin{array}{ll} A & O \\ C & B \end{array} |$ $=$ $| A | | B |$

行列式的简化：上三角区域存在方阵（C004）

问题

如果

A

为

m

阶方阵，

B

为

n

阶方阵，且行列式

D

=

| \begin{array}{ll} A & C \\ O & B \end{array} |

则，如果利用 $A$ 和 $B$ 对行列式 $D$ 作化简运算？

选项

[A].

D

=

| A | | B |

[B].

D

=

\frac{| A |}{| B |}

[C].

D

=

| A |

+

| B |

[D].

D

=

| A B |

答案

$| \begin{array}{ll} A & C \\ O & B \end{array} |$ $=$ $| A | | B |$

行列式的简化：主对角线区域存在方阵（C004）

问题

如果

A

为

m

阶方阵，

B

为

n

阶方阵，且行列式

D

=

| \begin{array}{ll} A & O \\ O & B \end{array} |

则，如果利用 $A$ 和 $B$ 对行列式 $D$ 作化简运算？

选项

[A].

D

=

| A | | B |

[B].

D

=

\frac{| A |}{| B |}

[C].

D

=

| A |

+

| B |

[D].

D

=

| A B |

答案

$| \begin{array}{ll} A & O \\ O & B \end{array} |$ $=$ $| A | | B |$

反下三角行列式计算公式（C004）

问题

已知，某行列式只有副对角线及副对角线下方的元素不全为零，其他位置的元素全为零：

| \begin{array}{cccc} 0 & λ_{1} \\ λ_{2} & * \\ \dots & ⋮ & ⋮ \\ λ_{n} & \dots & * & * \end{array} |

则，该行列式 $D$ $=$ $?$

选项

[A].

D

=

(- 1)^{\frac{n - 1}{2}}

λ_{1}

λ_{2}

\dots

λ_{n}

[B].

D

=

(- 1)^{\frac{n}{2}}

λ_{1}

λ_{2}

\dots

λ_{n}

[C].

D

=

λ_{1}

λ_{2}

\dots

λ_{n}

[D].

D

=

(- 1)^{\frac{n (n - 1)}{2}}

λ_{1}

λ_{2}

\dots

λ_{n}

答案

$| \begin{array}{cccc} 0 & λ_{1} \\ λ_{2} & * \\ \dots & ⋮ & ⋮ \\ λ_{n} & \dots & * & * \end{array} |$ $=$ $(- 1)^{\frac{n (n - 1)}{2}}$ $λ_{1}$ $λ_{2}$ $\dots$ $λ_{n}$

反上三角行列式计算公式（C004）

问题

已知，某行列式只有副对角线及副对角线上方的元素不全为零，其他位置的元素全为零：

| \begin{array}{cccc} * & \dots & * & λ_{1} \\ * & \dots & λ_{2} \\ ⋮ & \dots \\ λ_{n} & 0 \end{array} |

则，该行列式 $D$ $=$ $?$

选项

[A].

D

=

(- 1)^{\frac{n - 1}{2}}

λ_{1}

λ_{2}

\dots

λ_{n}

[B].

D

=

(- 1)^{\frac{n}{2}}

λ_{1}

λ_{2}

\dots

λ_{n}

[C].

D

=

λ_{1}

λ_{2}

\dots

λ_{n}

[D].

D

=

(- 1)^{\frac{n (n - 1)}{2}}

λ_{1}

λ_{2}

\dots

λ_{n}

答案

$| \begin{array}{cccc} * & \dots & * & λ_{1} \\ * & \dots & λ_{2} \\ ⋮ & \dots \\ λ_{n} & 0 \end{array} |$ $=$ $(- 1)^{\frac{n (n - 1)}{2}}$ $λ_{1}$ $λ_{2}$ $\dots$ $λ_{n}$