范德蒙行列式的计算(C004)

问题

已知,有范德蒙行列式 $D_{n}$ $=$
$\left|\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ x_{1} & x_{2} & x_{3} \\ x_{1}^{2} & x_{2}^{2} & x_{3}^{2} \end{array}\right|$.

则,下面对该行列式的计算结果,正确的是哪个?

选项

[A].   $D$ $=$ $\left(x_{3} – x_{2} – x_{1}\right)$

[B].   $D$ $=$ $\left(x_{2}-x_{1}\right)$ $\cdot$ $\left(x_{3}-x_{1}\right)$

[C].   $D$ $=$ $\left(x_{2}+x_{1}\right)$ $\cdot$ $\left(x_{3}+x_{1}\right)$ $\cdot$ $\left(x_{3}+x_{2}\right)$

[D].   $D$ $=$ $\left(x_{2}-x_{1}\right)$ $+$ $\left(x_{3}-x_{1}\right)$ $+$ $\left(x_{3}-x_{2}\right)$


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$\left|\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ x_{1} & x_{2} & x_{3} \\ x_{1}^{2} & x_{2}^{2} & x_{3}^{2} \end{array}\right|$ $=$ $\left(x_{2}-x_{1}\right)$ $\cdot$ $\left(x_{3}-x_{1}\right)$ $\cdot$ $\left(x_{3}-x_{2}\right)$

范德蒙行列式的通用计算方式如下:

$\left|\begin{array}{ccccc} 1 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\ x_{\textcolor{orange}{1}} & x_{\textcolor{orange}{2}} & x_{\textcolor{orange}{3}} & \cdots & x_{\textcolor{orange}{n}} \\ x_{\textcolor{orange}{1}}^{\textcolor{cyan}{2}} & x_{\textcolor{orange}{2}}^{\textcolor{cyan}{2}} & x_{\textcolor{orange}{3}}^{\textcolor{cyan}{2}} & \cdots & x_{\textcolor{orange}{n}}^{\textcolor{cyan}{2}} \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ x_{\textcolor{orange}{1}}^{\textcolor{cyan}{n-1}} & x_{\textcolor{orange}{2}}^{\textcolor{cyan}{n-1}} & x_{\textcolor{orange}{3}}^{\textcolor{cyan}{n-1}} & \cdots & x_{\textcolor{orange}{n}}^{\textcolor{cyan}{n-1}} \end{array}\right|$ $=$

$\prod_{1 \leq j < i \leq n}$ $\left(x_{i} – x_{j} \right)$
总结:用右边的元素把左边的元素全减一遍并相乘。

范德蒙行列式的形式(C004)

问题

以下哪个选项是范德蒙行列式 $D_{n}$ 的正确形式?

选项

[A].   $D_{n}$ $=$ $\left|\begin{array}{ccc} x_{1} & x_{2} & x_{3} \\ 2 x_{1} & 2 x_{2} & 2 x_{3} \\ 3 x_{1} & 3 x_{2} & 3 x_{3} \end{array}\right|$

[B].   $D_{n}$ $=$ $\left|\begin{array}{ccc} x_{1} & x_{2} & x_{3} \\ x_{1}^{2} & x_{2}^{2} & x_{3}^{2} \\ x_{1}^{3} & x_{2}^{3} & x_{3}^{3} \end{array}\right|$

[C].   $D_{n}$ $=$ $\left|\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ x_{1} & x_{2} & x_{3} \\ x_{1}^{2} & x_{2}^{2} & x_{3}^{2} \end{array}\right|$

[D].   $D_{n}$ $=$ $\left|\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ x_{1} & x_{2} & x_{3} \\ x_{1}^{2} & x_{2}^{2} & x_{3}^{2} \end{array}\right|$


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$D_{n}$ $=$ $\left|\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ x_{1} & x_{2} & x_{3} \\ x_{1}^{2} & x_{2}^{2} & x_{3}^{2} \end{array}\right|$

范德蒙行列式的通用形式:

$\left|\begin{array}{ccccc} x_{\textcolor{orange}{1}}^{\textcolor{cyan}{0}} & x_{\textcolor{orange}{2}}^{\textcolor{cyan}{0}} & x_{\textcolor{orange}{3}}^{\textcolor{cyan}{0}} & \cdots & x_{\textcolor{orange}{n}}^{\textcolor{cyan}{0}} \\ x_{\textcolor{orange}{1}}^{\textcolor{cyan}{1}} & x_{\textcolor{orange}{2}}^{\textcolor{cyan}{1}} & x_{\textcolor{orange}{3}}^{\textcolor{cyan}{1}} & \cdots & x_{\textcolor{orange}{n}}^{\textcolor{cyan}{1}} \\ x_{\textcolor{orange}{1}}^{\textcolor{cyan}{2}} & x_{\textcolor{orange}{2}}^{\textcolor{cyan}{2}} & x_{\textcolor{orange}{3}}^{\textcolor{cyan}{2}} & \cdots & x_{\textcolor{orange}{n}}^{\textcolor{cyan}{2}} \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ x_{\textcolor{orange}{1}}^{\textcolor{cyan}{n-1}} & x_{\textcolor{orange}{2}}^{\textcolor{cyan}{n-1}} & x_{\textcolor{orange}{3}}^{\textcolor{cyan}{n-1}} & \cdots & x_{\textcolor{orange}{n}}^{\textcolor{cyan}{n-1}} \end{array}\right|$ $\Rightarrow$

$\left|\begin{array}{ccccc} 1 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\ x_{\textcolor{orange}{1}} & x_{\textcolor{orange}{2}} & x_{\textcolor{orange}{3}} & \cdots & x_{\textcolor{orange}{n}} \\ x_{\textcolor{orange}{1}}^{\textcolor{cyan}{2}} & x_{\textcolor{orange}{2}}^{\textcolor{cyan}{2}} & x_{\textcolor{orange}{3}}^{\textcolor{cyan}{2}} & \cdots & x_{\textcolor{orange}{n}}^{\textcolor{cyan}{2}} \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ x_{\textcolor{orange}{1}}^{\textcolor{cyan}{n-1}} & x_{\textcolor{orange}{2}}^{\textcolor{cyan}{n-1}} & x_{\textcolor{orange}{3}}^{\textcolor{cyan}{n-1}} & \cdots & x_{\textcolor{orange}{n}}^{\textcolor{cyan}{n-1}} \end{array}\right|$.

行列式的简化:反下三角区域存在方阵(C004)

问题

如果 $A$ 为 $m$ 阶方阵,$B$ 为 $n$ 阶方阵,且行列式 $D$ $=$
$\left|\begin{array}{cc} \boldsymbol{O} & \boldsymbol{A} \\ \boldsymbol{B} & \boldsymbol{C} \end{array}\right|$.

则,如果利用 $A$ 和 $B$ 对行列式 $D$ 作化简运算?

选项

[A].   $D$ $=$ $(-1)^{m+n}$ $|\boldsymbol{A}|$ $|\boldsymbol{B}|$

[B].   $D$ $=$ $|\boldsymbol{A}|$ $+$ $|\boldsymbol{B}|$

[C].   $D$ $=$ $|\boldsymbol{A}| |\boldsymbol{B}|$

[D].   $D$ $=$ $(-1)^{mn}$ $|\boldsymbol{A}||\boldsymbol{B}|$


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$\left|\begin{array}{cc} \boldsymbol{O} & \boldsymbol{\textcolor{orange}{A}} \\ \boldsymbol{\textcolor{cyan}{B}} & \boldsymbol{C} \end{array}\right|$ $=$ $(-1)^{mn}$ $|\boldsymbol{\textcolor{orange}{A}}||\boldsymbol{\textcolor{cyan}{B}}|$

行列式的简化:反上三角区域存在方阵(C004)

问题

如果 $A$ 为 $m$ 阶方阵,$B$ 为 $n$ 阶方阵,且行列式 $D$ $=$
$\left|\begin{array}{ll} \boldsymbol{C} & \boldsymbol{A} \\ \boldsymbol{B} & \boldsymbol{O} \end{array}\right|$.

则,如果利用 $A$ 和 $B$ 对行列式 $D$ 作化简运算?

选项

[A].   $D$ $=$ $(-1)^{mn}$ $|\boldsymbol{A}||\boldsymbol{B}|$

[B].   $D$ $=$ $(-1)^{m+n}$ $|\boldsymbol{A}|$ $|\boldsymbol{B}|$

[C].   $D$ $=$ $|\boldsymbol{A}|$ $+$ $|\boldsymbol{B}|$

[D].   $D$ $=$ $|\boldsymbol{A}| |\boldsymbol{B}|$


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$\left|\begin{array}{ll} \boldsymbol{C} & \boldsymbol{\textcolor{orange}{A}} \\ \boldsymbol{\textcolor{cyan}{B}} & \boldsymbol{O} \end{array}\right|$ $=$ $(-1)^{mn}$ $|\boldsymbol{\textcolor{orange}{A}}||\boldsymbol{\textcolor{cyan}{B}}|$

行列式的简化:副对角线区域存在方阵(C004)

问题

如果 $A$ 为 $m$ 阶方阵,$B$ 为 $n$ 阶方阵,且行列式 $D$ $=$
$\left|\begin{array}{ll} \boldsymbol{O} & \boldsymbol{A} \\ \boldsymbol{B} & \boldsymbol{O} \end{array}\right|$.

则,如果利用 $A$ 和 $B$ 对行列式 $D$ 作化简运算?

选项

[A].   $D$ $=$ $|\boldsymbol{A}|$ $+$ $|\boldsymbol{B}|$

[B].   $D$ $=$ $|\boldsymbol{A}| |\boldsymbol{B}|$

[C].   $D$ $=$ $(-1)^{mn}$ $|\boldsymbol{A}||\boldsymbol{B}|$

[D].   $D$ $=$ $(-1)^{m+n}$ $|\boldsymbol{A}|$ $|\boldsymbol{B}|$


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$\left|\begin{array}{ll} \boldsymbol{O} & \boldsymbol{\textcolor{orange}{A}} \\ \boldsymbol{\textcolor{cyan}{B}} & \boldsymbol{O} \end{array}\right|$ $=$ $(-1)^{mn}$ $|\boldsymbol{\textcolor{orange}{A}}||\boldsymbol{\textcolor{cyan}{B}}|$

行列式的简化:下三角区域存在方阵(C004)

问题

如果 $A$ 为 $m$ 阶方阵,$B$ 为 $n$ 阶方阵,且行列式 $D$ $=$
$\left|\begin{array}{ll} \boldsymbol{A} & \boldsymbol{O} \\ \boldsymbol{C} & \boldsymbol{B} \end{array}\right|$.

则,如果利用 $A$ 和 $B$ 对行列式 $D$ 作化简运算?

选项

[A].   $D$ $=$ $|\boldsymbol{A}||\boldsymbol{B}|$

[B].   $D$ $=$ $\frac{|\boldsymbol{A}|}{|\boldsymbol{B}|}$

[C].   $D$ $=$ $|\boldsymbol{A}|$ $+$ $|\boldsymbol{B}|$

[D].   $D$ $=$ $|\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}|$


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$\left|\begin{array}{ll} \boldsymbol{\textcolor{orange}{A}} & \boldsymbol{O} \\ \boldsymbol{C} & \boldsymbol{\textcolor{cyan}{B}} \end{array}\right|$ $=$ $|\boldsymbol{\textcolor{orange}{A}}||\boldsymbol{\textcolor{cyan}{B}}|$

行列式的简化:上三角区域存在方阵(C004)

问题

如果 $A$ 为 $m$ 阶方阵,$B$ 为 $n$ 阶方阵,且行列式 $D$ $=$
$\left|\begin{array}{ll} \boldsymbol{A} & \boldsymbol{C} \\ \boldsymbol{O} & \boldsymbol{B} \end{array}\right|$.

则,如果利用 $A$ 和 $B$ 对行列式 $D$ 作化简运算?

选项

[A].   $D$ $=$ $|\boldsymbol{A}|$ $+$ $|\boldsymbol{B}|$

[B].   $D$ $=$ $|\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}|$

[C].   $D$ $=$ $|\boldsymbol{A}||\boldsymbol{B}|$

[D].   $D$ $=$ $\frac{|\boldsymbol{A}|}{|\boldsymbol{B}|}$


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$\left|\begin{array}{ll} \boldsymbol{\textcolor{orange}{A}} & \boldsymbol{C} \\ \boldsymbol{O} & \boldsymbol{\textcolor{cyan}{B}} \end{array}\right|$ $=$ $|\boldsymbol{\textcolor{orange}{A}}||\boldsymbol{\textcolor{cyan}{B}}|$

行列式的简化:主对角线区域存在方阵(C004)

问题

如果 $A$ 为 $m$ 阶方阵,$B$ 为 $n$ 阶方阵,且行列式 $D$ $=$
$\left|\begin{array}{ll} \boldsymbol{A} & \boldsymbol{O} \\ \boldsymbol{O} & \boldsymbol{B} \end{array}\right|$.

则,如果利用 $A$ 和 $B$ 对行列式 $D$ 作化简运算?

选项

[A].   $D$ $=$ $|\boldsymbol{A}|$ $+$ $|\boldsymbol{B}|$

[B].   $D$ $=$ $|\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}|$

[C].   $D$ $=$ $|\boldsymbol{A}||\boldsymbol{B}|$

[D].   $D$ $=$ $\frac{|\boldsymbol{A}|}{|\boldsymbol{B}|}$


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$\left|\begin{array}{ll} \boldsymbol{\textcolor{orange}{A}} & \boldsymbol{O} \\ \boldsymbol{O} & \boldsymbol{\textcolor{cyan}{B}} \end{array}\right|$ $=$ $|\boldsymbol{\textcolor{orange}{A}}||\boldsymbol{\textcolor{cyan}{B}}|$

反下三角行列式计算公式(C004)

问题

已知,某行列式只有副对角线及副对角线下方的元素不全为零,其他位置的元素全为零:
$\left|\begin{array}{cccc} 0 & & & \lambda_{1} \\ & & \lambda_{2} & * \\ & \cdots\ & \vdots & \vdots \\ \lambda_{n} & \cdots & * & * \end{array}\right|$.

则,该行列式 $D$ $=$ $?$

选项

[A].   $D$ $=$ $(-1)^{\frac{n}{2}}$ $\lambda_{1}$ $\lambda_{2}$ $\cdots$ $\lambda_{n}$

[B].   $D$ $=$ $\lambda_{1}$ $\lambda_{2}$ $\cdots$ $\lambda_{n}$

[C].   $D$ $=$ $(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}$ $\lambda_{1}$ $\lambda_{2}$ $\cdots$ $\lambda_{n}$

[D].   $D$ $=$ $(-1)^{\frac{n-1}{2}}$ $\lambda_{1}$ $\lambda_{2}$ $\cdots$ $\lambda_{n}$


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$\left|\begin{array}{cccc} 0 & & & \lambda_{1} \\ & & \lambda_{2} & * \\ & \cdots\ & \vdots & \vdots \\ \lambda_{n} & \cdots & * & * \end{array}\right|$ $=$ $(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}$ $\lambda_{1}$ $\lambda_{2}$ $\cdots$ $\lambda_{n}$

反上三角行列式计算公式(C004)

问题

已知,某行列式只有副对角线及副对角线上方的元素不全为零,其他位置的元素全为零:
$\left|\begin{array}{cccc} * & \cdots & * & \lambda_{1} \\ * & \cdots & \lambda_{2} & \\ \vdots & \cdots & & \\ \lambda_{n} & & & 0 \end{array}\right|$.

则,该行列式 $D$ $=$ $?$

选项

[A].   $D$ $=$ $(-1)^{\frac{n}{2}}$ $\lambda_{1}$ $\lambda_{2}$ $\cdots$ $\lambda_{n}$

[B].   $D$ $=$ $\lambda_{1}$ $\lambda_{2}$ $\cdots$ $\lambda_{n}$

[C].   $D$ $=$ $(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}$ $\lambda_{1}$ $\lambda_{2}$ $\cdots$ $\lambda_{n}$

[D].   $D$ $=$ $(-1)^{\frac{n-1}{2}}$ $\lambda_{1}$ $\lambda_{2}$ $\cdots$ $\lambda_{n}$


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$\left|\begin{array}{cccc} * & \cdots & * & \lambda_{1} \\ * & \cdots & \lambda_{2} & \\ \vdots & \cdots & & \\ \lambda_{n} & & & 0 \end{array}\right|$ $=$ $(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}$ $\lambda_{1}$ $\lambda_{2}$ $\cdots$ $\lambda_{n}$

副对角线行列式计算公式(C004)

问题

已知,某行列式只有副对角线上元素不全为零,其他位置的元素全为零:
$\left|\begin{array}{cccc} 0 & & & \lambda_{1} \\ & & \lambda_{2} & \\ & \cdots & & \\ \lambda_{n} & & & 0 \end{array}\right|$.

则,该行列式 $D$ $=$ $?$

选项

[A].   $D$ $=$ $(-1)^{\frac{n}{2}}$ $\lambda_{1}$ $\lambda_{2}$ $\cdots$ $\lambda_{n}$

[B].   $D$ $=$ $\lambda_{1}$ $\lambda_{2}$ $\cdots$ $\lambda_{n}$

[C].   $D$ $=$ $(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}$ $\lambda_{1}$ $\lambda_{2}$ $\cdots$ $\lambda_{n}$

[D].   $D$ $=$ $(-1)^{\frac{n-1}{2}}$ $\lambda_{1}$ $\lambda_{2}$ $\cdots$ $\lambda_{n}$


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$\left|\begin{array}{cccc} 0 & & & \lambda_{1} \\ & & \lambda_{2} & \\ & \cdots & & \\ \lambda_{n} & & & 0 \end{array}\right|$ $=$ $(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}$ $\lambda_{1}$ $\lambda_{2}$ $\cdots$ $\lambda_{n}$

行列式的副对角线(C004)

问题

如果用 $\textcolor{orange}{\circ}$ 表示副对角线上的元素,用 $\ast$ 表示除了副对角线元素以外的其他元素。

则,以下哪个选项所表示的副对角线是正确的?

选项

[A].   $\begin{vmatrix} \textcolor{orange}{\circ} & \textcolor{orange}{\circ} & \textcolor{orange}{\circ}\\ \ast & \ast & \ast\\ \ast & \ast & \ast \end{vmatrix}$

[B].   $\begin{vmatrix} \textcolor{orange}{\circ} & \ast & \ast\\ \ast & \textcolor{orange}{\circ} & \ast\\ \ast & \ast & \textcolor{orange}{\circ} \end{vmatrix}$

[C].   $\begin{vmatrix} \ast & \ast & \textcolor{orange}{\circ}\\ \ast & \textcolor{orange}{\circ} & \ast\\ \textcolor{orange}{\circ} & \ast & \ast \end{vmatrix}$

[D].   $\begin{vmatrix} \textcolor{orange}{\circ} & \ast & \ast\\ \textcolor{orange}{\circ} & \ast & \ast\\ \textcolor{orange}{\circ} & \ast & \ast \end{vmatrix}$


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$\begin{vmatrix} \ast & \ast & \textcolor{orange}{\circ}\\ \ast & \textcolor{orange}{\circ} & \ast\\ \textcolor{orange}{\circ} & \ast & \ast \end{vmatrix}$

行列式的主对角线(C004)

问题

如果用 $\textcolor{orange}{\odot}$ 表示主对角线上的元素,用 $\ast$ 表示除了主对角线元素以外的其他元素。

则,以下哪个选项所表示的主对角线是正确的?

选项

[A].   $\begin{vmatrix} \textcolor{orange}{\odot} & \textcolor{orange}{\odot} & \textcolor{orange}{\odot}\\ \ast & \ast & \ast\\ \ast & \ast & \ast \end{vmatrix}$

[B].   $\begin{vmatrix} \ast & \ast & \textcolor{orange}{\odot}\\ \ast & \textcolor{orange}{\odot} & \ast\\ \textcolor{orange}{\odot} & \ast & \ast \end{vmatrix}$

[C].   $\begin{vmatrix} \textcolor{orange}{\odot} & \ast & \ast\\ \ast & \textcolor{orange}{\odot} & \ast\\ \ast & \ast & \textcolor{orange}{\odot} \end{vmatrix}$

[D].   $\begin{vmatrix} \textcolor{orange}{\odot} & \ast & \ast\\ \textcolor{orange}{\odot} & \ast & \ast\\ \textcolor{orange}{\odot} & \ast & \ast \end{vmatrix}$


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$\begin{vmatrix} \textcolor{orange}{\odot} & \ast & \ast\\ \ast & \textcolor{orange}{\odot} & \ast\\ \ast & \ast & \textcolor{orange}{\odot} \end{vmatrix}$

下三角行列式计算公式(C004)

问题

已知,某行列式只有主对角线下方的元素不全为零(下三角行列式),其他位置的元素全为零:

$\left|\begin{array}{cccc} a_{11} & 0 & \cdots & 0 \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & 0 \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n} \end{array}\right|$

则,该行列式 $D$ $=$ $?$

选项

[A].   $D$ $=$ $\frac{1}{n}$ $a_{11}$ $a_{22}$ $\cdots$ $a_{n n}$

[B].   $D$ $=$ $a_{11}$ $+$ $a_{22}$ $+$ $\cdots$ $+$ $a_{n n}$

[C].   $D$ $=$ $a_{11}$ $a_{22}$ $\cdots$ $a_{n n}$

[D].   $D$ $=$ $\frac{1}{a_{11}}$ $\frac{1}{a_{22}}$ $\cdots$ $\frac{1}{a_{n n}}$


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$\left|\begin{array}{cccc} a_{11} & 0 & \cdots & 0 \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & 0 \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n} \end{array}\right|$ $=$ $a_{11}$ $a_{22}$ $\cdots$ $a_{n n}$

上三角行列式计算公式(C004)

问题

已知,某行列式只有主对角线上方的元素不全为零(上三角行列式),其他位置的元素全为零:

$\left|\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ 0 & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_{n n} \end{array}\right|$

则,该行列式 $D$ $=$ $?$

选项

[A].   $D$ $=$ $\frac{1}{n}$ $a_{11}$ $a_{22}$ $\cdots$ $a_{n n}$

[B].   $D$ $=$ $a_{11}$ $+$ $a_{22}$ $+$ $\cdots$ $+$ $a_{n n}$

[C].   $D$ $=$ $a_{11}$ $a_{22}$ $\cdots$ $a_{n n}$

[D].   $D$ $=$ $\frac{1}{a_{11}}$ $\frac{1}{a_{22}}$ $\cdots$ $\frac{1}{a_{n n}}$


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$\left|\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ 0 & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_{n n} \end{array}\right|$ $=$ $a_{11}$ $a_{22}$ $\cdots$ $a_{n n}$


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