线性代数 – 第 29 页

一、前言

在本文中，荒原之梦网将对线性代数中“矩阵的 $k$ 阶子式”这一定义进行阐述，并通过举例的方式做进一步的说明。

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问题

根据矩阵子式的定义，构成一个矩阵子式的元素是否必须是相邻的？

选项

[A]. 必须不相邻

[B]. 必须相邻

[C]. 不必须相邻

答案

构成矩阵子式的元素可以不相邻，例如，对于矩阵 $\textcolor{orange}{\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix}}$ 而言，$\textcolor{yellow}{\begin{vmatrix} 2 & 3\\ 5 & 6 \end{vmatrix}}$ 和 $\textcolor{cyan}{\begin{vmatrix} 1 & 3\\ 4 & 6 \end{vmatrix}}$ 均是其子式。

矩阵的子式一定行列相等吗？（C012）

问题

根据矩阵子式的定义，一个矩阵的 $k$ 阶子式，一定是一个行数与列数相等的行列式吗？

选项

[A]. 一定是

[B]. 一定不是

[C]. 不一定是

答案

矩阵的子式一定是一个行数与列数相等的行列式

矩阵的子式（C012）

问题

根据矩阵子式的定义, 以下选项中，哪一个是矩阵 $\textcolor{orange}{\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix}}$ 的子式？

选项

[A]. $\begin{vmatrix} 1 & 2 \end{vmatrix}$

[B]. $\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \end{vmatrix}$

[C]. $\begin{vmatrix} 1 & 2\\ 4 & 5 \end{vmatrix}$

[D]. $\begin{vmatrix} 3\\ 6 \end{vmatrix}$

答案

$\begin{vmatrix} 1 & 2\\ 4 & 5 \end{vmatrix}$

矩阵的等价与秩（C011）

问题

若矩阵 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 等价，则矩阵的秩 $\textcolor{orange}{r(\boldsymbol{A})}$ 与 $\textcolor{orange}{r(\boldsymbol{B})}$ 之间是什么关系？

选项

[A]. $r(\boldsymbol{A})$ $=$ $-r(\boldsymbol{B})$

[B]. $r(\boldsymbol{A})$ $\neq$ $r(\boldsymbol{B})$

[C]. $r(\boldsymbol{A})$ $=$ $r(\boldsymbol{B})$

[D]. $r(\boldsymbol{A})$ $=$ $r(\boldsymbol{B})$ $=$ $0$

答案

$\textcolor{orange}{r(\boldsymbol{A})}$ $\textcolor{red}{=}$ $\textcolor{orange}{r(\boldsymbol{B})}$

矩阵的等价与同型（C011）

问题

若矩阵 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 是等价矩阵，则 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 是否一定是同型矩阵？

选项

[A]. 一定不是

[B]. 一定是

[C]. 等价与同型无关

[D]. 不一定是

答案

等价矩阵一定是同型矩阵

什么是同型矩阵？（C011）

问题

什么是同型矩阵？

选项

[A]. 可逆的矩阵

[B]. 行数等于列数的矩阵

[C]. 行数和列数都对应相等的矩阵

[D]. 特征值相等的矩阵

答案

行数和列数都对应相等的矩阵就是同型矩阵

等价矩阵的性质：$\boldsymbol{P}$ $\boldsymbol{A}$ $\boldsymbol{Q}$ $=$ $\boldsymbol{B}$（C011）

问题

如果矩阵 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 等价，则存在矩阵 $\boldsymbol{P}$ 和 $\boldsymbol{Q}$ 使得：$\boldsymbol{\textcolor{orange}{P}}$ $\boldsymbol{\textcolor{cyan}{A}}$ $\boldsymbol{\textcolor{orange}{Q}}$ $=$ $\boldsymbol{\textcolor{cyan}{B}}$.
则，上面的矩阵 $\boldsymbol{\textcolor{orange}{P}}$ 和 $\boldsymbol{\textcolor{orange}{Q}}$ 具有什么样的性质？

选项

[A]. $\boldsymbol{P}^{\top}$ $=$ $\boldsymbol{Q}$

[B]. $\boldsymbol{P}^{-1}$ $=$ $\boldsymbol{Q}$

[C]. $\boldsymbol{P}$ $=$ $\boldsymbol{Q}$

[D]. $\boldsymbol{P}$ 和 $\boldsymbol{Q}$ 均可逆

答案

$\boldsymbol{\textcolor{orange}{P}}$ 和 $\boldsymbol{\textcolor{orange}{Q}}$ 均可逆

矩阵等价的定义（C011）

问题

矩阵 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 等价的定义是什么？

选项

[A]. 矩阵 $\boldsymbol{A}$ 可以经有限次求逆运算变成矩阵 $\boldsymbol{B}$

[B]. 矩阵 $\boldsymbol{A}$ 可以经有限次转置运算变成矩阵 $\boldsymbol{B}$

[C]. 矩阵 $\boldsymbol{A}$ 可以经一次初等变换变成矩阵 $\boldsymbol{B}$

[D]. 矩阵 $\boldsymbol{A}$ 可以经有限次初等变换变成矩阵 $\boldsymbol{B}$

答案

如果矩阵 $\boldsymbol{\textcolor{orange}{A}}$ 经过有限次初等变换可以变成矩阵 $\boldsymbol{\textcolor{cyan}{B}}$, 则称矩阵 $\boldsymbol{\textcolor{orange}{A}}$ 与 $\boldsymbol{\textcolor{cyan}{B}}$ 等价

初等矩阵 $\boldsymbol{E}_{i j}(k)$ 的逆矩阵（C011）

问题

已知矩阵 $\boldsymbol{E}_{i j}(k)$ $=$ $\begin{bmatrix} 1 & k & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ 是一个经过一次第三种初等变换形成的初等矩阵，则该矩阵的逆矩阵 $\boldsymbol{E}_{i j}^{-1}(k)$ 是下列选项中的哪一个？

选项

[A]. $\begin{bmatrix} 1 & k & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

[B]. $\begin{bmatrix} 1 & -k & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

[C]. $\begin{bmatrix} 1 & \frac{-1}{k} & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

[D]. $\begin{bmatrix} 1 & \frac{1}{k} & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

答案

$\boldsymbol{E}_{i j}^{-1}(\textcolor{cyan}{k})$ $=$ $\begin{bmatrix} 1 & \textcolor{orange}{k} & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}^{-1}$ $=$ $\begin{bmatrix} 1 & \textcolor{orange}{-k} & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ $=$ $\boldsymbol{E}_{i j}(\textcolor{cyan}{-k})$

拓展资料

第三种初等矩阵

初等矩阵 $\boldsymbol{E}_{i}(k)$ 的逆矩阵（C011）

问题

已知矩阵 $\boldsymbol{E}_{i}(k)$ $=$ $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & k & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ 是一个经过一次第二种初等变换形成的初等矩阵，则该矩阵的逆矩阵 $\boldsymbol{E}_{i}^{-1}(k)$ 是下列选项中的哪一个？

选项

[A]. $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & \frac{1}{k} & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

[B]. $\begin{bmatrix} 0 & 0 & 1\\ 0 & \frac{1}{k} & 0\\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

[C]. $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & k & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

[D]. $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & \frac{-1}{k} & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

答案

$\boldsymbol{E}_{i}^{-1}(k)$ $=$ $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & \textcolor{orange}{k} & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}^{-1}$ $=$ $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & \textcolor{orange}{\frac{1}{k}} & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ $=$ $\boldsymbol{E}_{i}\left(\frac{1}{k}\right)$

拓展资料

第二种初等矩阵

初等矩阵 $\boldsymbol{E_{i j}}$ 的逆矩阵（C011）

问题

已知矩阵 $\boldsymbol{E_{i j}}$ $=$ $\begin{bmatrix} 0 & \textcolor{orange}{1} & 0\\ \textcolor{orange}{1} & 0 & 0\\ 0 & 0 & \textcolor{orange}{1} \end{bmatrix}$ 是一个经过一次第一种初等变换形成的初等矩阵，则该矩阵的逆矩阵 $\boldsymbol{E_{i j}^{-1}}$ 是下列选项中的哪一个？

选项

[A]. $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}$

[B]. $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

[C]. $\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

[D]. $\begin{bmatrix} 0 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

答案

$\begin{bmatrix} 0 & \textcolor{orange}{1} & 0\\ \textcolor{orange}{1} & 0 & 0\\ 0 & 0 & \textcolor{orange}{1} \end{bmatrix}^{\textcolor{red}{-1}}$ $=$ $\begin{bmatrix} 0 & \textcolor{cyan}{1} & 0\\ \textcolor{cyan}{1} & 0 & 0\\ 0 & 0 & \textcolor{cyan}{1} \end{bmatrix}$
$\boldsymbol{E}_{i j}^{-1}$ $=$ $\boldsymbol{E}_{i j}$