构成矩阵子式的元素 可 以 不 相 邻 ，例如，对于矩阵 $\textcolor{orange}{\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix}}$ 而言，$\textcolor{yellow}{\begin{vmatrix} 2 & 3\\ 5 & 6 \end{vmatrix}}$ 和 $\textcolor{cyan}{\begin{vmatrix} 1 & 3\\ 4 & 6 \end{vmatrix}}$ 均 是 其子式。
矩阵的子式 一 定 是一个 行 数与 列 数 相 等 的行列式
$\begin{vmatrix} 1 & 2\\ 4 & 5 \end{vmatrix}$
$\textcolor{orange}{r(\boldsymbol{A})}$ $\textcolor{red}{=}$ $\textcolor{orange}{r(\boldsymbol{B})}$
等 价 矩阵 一 定 是 同 型 矩阵
行 数 和 列 数 都 对 应 相 等 的矩阵就是 同 型 矩 阵
$\boldsymbol{\textcolor{orange}{P}}$ 和 $\boldsymbol{\textcolor{orange}{Q}}$ 均 可 逆
如果矩阵 $\boldsymbol{\textcolor{orange}{A}}$ 经过 有 限 次 初 等 变 换 可以变成矩阵 $\boldsymbol{\textcolor{cyan}{B}}$, 则称矩阵 $\boldsymbol{\textcolor{orange}{A}}$ 与 $\boldsymbol{\textcolor{cyan}{B}}$ 等 价
$\boldsymbol{E}_{i j}^{-1}(\textcolor{cyan}{k})$ $=$ $\begin{bmatrix} 1 & \textcolor{orange}{k} & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}^{-1}$ $=$ $\begin{bmatrix} 1 & \textcolor{orange}{-k} & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ $=$ $\boldsymbol{E}_{i j}(\textcolor{cyan}{-k})$
$\boldsymbol{E}_{i}^{-1}(k)$ $=$ $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & \textcolor{orange}{k} & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}^{-1}$ $=$ $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & \textcolor{orange}{\frac{1}{k}} & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ $=$ $\boldsymbol{E}_{i}\left(\frac{1}{k}\right)$
$\begin{bmatrix} 0 & \textcolor{orange}{1} & 0\\ \textcolor{orange}{1} & 0 & 0\\ 0 & 0 & \textcolor{orange}{1} \end{bmatrix}^{\textcolor{red}{-1}}$ $=$ $\begin{bmatrix} 0 & \textcolor{cyan}{1} & 0\\ \textcolor{cyan}{1} & 0 & 0\\ 0 & 0 & \textcolor{cyan}{1} \end{bmatrix}$
$\boldsymbol{E}_{i j}^{-1}$ $=$ $\boldsymbol{E}_{i j}$
初等矩阵的 逆 矩 阵 还 是 初等矩阵
初等矩阵 均 可 逆
对矩阵 $\textcolor{orange}{\boldsymbol{A}_{m \times n}}$ 实施一次初等 列 变换，就相当于在 $\boldsymbol{\textcolor{orange}{A}}$ 的 右 边 乘以相应的 $\textcolor{cyan}{n}$ 阶初等矩阵
对矩阵 $\textcolor{orange}{\boldsymbol{A}_{m \times n}}$ 实施一次初等 行 变换，就相当于在 $\boldsymbol{\textcolor{orange}{A}}$ 的 左 边 乘以相应的 $\textcolor{cyan}{m}$ 阶初等矩阵
