分类： 高等数学

一、题目

初值问题 $\left\{\begin{array}{l}1+\left(y^{\prime}\right)^{2}=2 y y^{\prime \prime}, \\ y(1)=1, y^{\prime}(1)=-1\end{array}\right.$ 的特解是（）

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继续阅读“一层一层剥洋葱：从可降阶微分方程到变量可分离的微分方程再到另一个变量可分离的微分方程”

一、题目

已知 $f(x)$ 具有一阶连续导数, $f(0)=0, \mathrm{~d} u(x, y)$ $=$ $f(x) y \mathrm{~d} x+[\sin x-f(x)] \mathrm{~d} y$, 则 $f(x)$ 等于（）

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继续阅读“你知道怎么求解这个隐藏在偏微分方程后面的一阶线性微分方程吗”

一、题目

下面哪些是线性微分方程：

(1) $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=(\sin x) y+\mathrm{e}^{x}$

(2) $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=x \sin y+\mathrm{e}^{x}$

(3) $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=\sin x+\mathrm{e}^{y}$

(4) $x \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=\cos y+1$

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继续阅读“怎么判断微分方程是线性的？这里有三个判断条件和一道典型例题”

一、题目

已知 $y^{*}$ $=$ $\mathrm{e}^{-2 x}$ $+$ $(x^{2}$ $+$ $2) \mathrm{e}^{x}$ 是二阶常系数线性非齐次微分方程 $y^{\prime \prime}$ $+$ $a y^{\prime}$ $+$ $b y$ $=$ $(c x + d) \mathrm{e}^{x}$ 的一个解，方程中的系数 $a$ 与 $b$ 以及非齐次项中的常数 $c$ 和 $d$ 分别是多少？

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继续阅读“已知解的情况下确定二阶常系数齐次线性微分方程中的未知数”

一、题目

函数 $g(x)=\left|x^{3}-x-\sin x\right|$ 有多少个不可导的点？

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继续阅读“判断一下这个加了绝对值得函数是否可导”

一、前言

你知道如何通过函数 $f(x)$ 判断函数 $|f(x)|$ 在一点处的可导性吗？

继续阅读“如何判断一个函数的绝对值在某点处是否可导？一个简单的例子就可以让你记住相关定理”

一、题目

已知 $y=y(x)$ 是 $y^{\prime \prime}+b y^{\prime}+c y=0$ 的解，其中 $b, c$ 为正的常数，则 $\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} y(x)$ 与解 $y(x)$ 的初值 $y(0), y^{\prime}(0)$ 及 $b, c$ 有关吗？

难度评级：

继续阅读“当变量趋于无穷大的时候，有关的量也可能变得无关：极限下的情况不能用有限时的思维判断”

一、题目

已知 $P(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内连续, 且以 $T$ 为周期，则 $\int_{0}^{T} P(x) \mathrm{d} x=0$ 是方程 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}+P(x) y=O(y=y(x) \neq 0)$ 有解且以 $T$ 为周期的充要条件吗？

难度评级：

继续阅读“判断一阶线性微分方程的解是否是一个周期函数”

一、前言

变上限积分是定积分的一种，但又不是一般的定积分，我们有些时候甚至会用变上限积分直接替代不定积分使用——那么，变上限积分和不定积分到底有什么关系呢？

继续阅读“不定积分和变上限积分的联系与区别”

一、前言

你知道周期函数在积分运算中会表现出来哪些性质吗？

如果想判断一个函数否是周期函数，可以参考《如何判断一个函数是否是周期函数以及其周期是多少》

继续阅读“周期函数的积分性质汇总”

一、题目

已知 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上连续, 在 $(0,+\infty)$ 内有连续导数且 $x \int_{0}^{1} f(t x) \mathrm{d} t+2 \int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t=x f(x)+x^{3}$ 则可得 $f(x)$ 的表达式为（）

难度评级：

继续阅读“当一阶线性微分方程披上了变限积分的“外衣””

一、题目

曲线 $r=a \mathrm{e}^{b \theta}(a>0, b>0)$ 从 $\theta=0$ 到 $\theta=\alpha(\alpha>0)$ 的一段弧长可以表示为（）

难度评级：

继续阅读“计算平面曲线的弧长：附考研数学中计算平面曲线弧长的全部公式”

一、题目

由曲线 $y=1-(x-1)^{2}$ 及直线 $y=0$ 围成图形绕 $y$ 轴旋转而成立体的体积 $V$ 可以表示成什么？

示意图：

难度评级：

继续阅读“求解以 Y 轴为区间绕 Y 轴旋转的曲线所形成的立体的体积”

一、题目

曲线 $y=\cos x\left(x \in\left[0, \frac{\pi}{2}\right]\right)$ 与 $x$ 轴, $y$ 轴所围面积被曲线 $y=a \sin x$ 等分，则 $a=?$

示意图：

难度评级：

继续阅读“一个式子两个未知数怎么办——将两个未知数分别放在式子的两端”

一、题目

下列命题，哪些是正确的，哪些是错误的？

(1) 设 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内连续是奇函数，则 $\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x=0$.

(2) 设 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内连续，又 $\lim \limits_{R \rightarrow+\infty} \int_{-R}^{R} f(x) \mathrm{d} x$ 存在，则 $\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛.

(3) $\int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x, \int_{a}^{+\infty} g(x) \mathrm{d} x$ 均发散, 则 $\int_{a}^{+\infty}[f(x)+g(x)] \mathrm{d} x$ 可能发散, 也可能收敛.

(4) 若 $\int_{-\infty}^{0} f(x) \mathrm{d} x$ 与 $\int_{0}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 均发散, 则不能确定 $\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 是否收敛.

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继续阅读“无穷大和趋于无穷大有什么区别？做完这道题你就理解了！”