高等数学 – 第 27 页 – 荒原之梦

在实际的考试中，我们没必要把矩阵化简得这么“彻底”再去求未知数

一、题目

荒原之梦考研数学

已知，向量组 $\boldsymbol { \alpha } _ { 1 } = ( 1 , 1 , a ) ^ { \mathrm { T } }$ , $\boldsymbol { \alpha } _ { 2 } = ( 1 , – 2 , b ) ^ { \mathrm { T } }$ , $\boldsymbol { \alpha } _ { 3 } = ( – 2 , 1 , c ) ^ { \mathrm { T } }$ 的秩为 $a$, 若 $\boldsymbol { \beta } = ( 1 , 2 , 0 ) ^ { \top }$ 可由 $\boldsymbol { \alpha } _ { 1 }$, $\boldsymbol { \alpha } _ { 2 }$, $\boldsymbol { \alpha } _ { 3 }$ 线性表示，且表示法不唯一, 则 $\begin{cases}
a = ? \\ b = ?
\end{cases}$

A. $a = 2$, $b = 8$, $c = 1 0$

B. $a = 2$, $b = 8$, $c = -1 0$

C. $a = 1$, $b = – 8$, $c = 1 0$

D. $a = 1$, $b = – 8$, $c = – 1 0$

难度评级：

对题目的等价转化往往就是解题的突破口

一、题目

荒原之梦考研数学

若方程 $\tan x = a x$ 在 $\left( 0 , \frac { \pi } { 4 } \right)$ 内有实根，则常数 $a$ 的取值范围是多少？

(A). $0 < a < \frac { 4 } { \pi }$

(B). $1 < a < \frac { \pi } { 4 }$

(C). $1 < a < \frac { 4 } { \pi }$

(D). $0 < a < \frac { \pi } { 4 }$

难度评级：

一点处连续与存在的区别：连续性要考虑“邻居”，存在性只需要考虑“自己”

一、题目

荒原之梦考研数学

已知，函数 $f(x)$ $=$ $\ln \left(1+x^{\frac{2}{3}}\right)$ $-$ $x^{\frac{2}{3}}$, 则下面说法正确的是哪一个？

(A). $f^{\prime}(0)$ 不存在, $f^{\prime \prime}(0)$ 不存在

(B). $f^{\prime}(0)$ 存在, $f^{\prime \prime}(0)$ 存在

(C). $f^{\prime}(0)$ 存在, $f^{\prime \prime}(0)$ 不存在

(D). $f^{\prime}(x)$ 在 $x=0$ 处不连续

难度评级：

解题的突破口一般就是尝试增加式子的一致性，降低式子的复杂度

一、题目

荒原之梦考研数学

请问，$x \rightarrow 0$ 时, $f(x)$ $=$ $3 x$ $-$ $4 \sin x$ $+$ $\sin x \cos x$ 是关于 $x$ 的多少阶无穷小？

难度评级：

遇到这样的式子，且题目中提到了导数的话，一定要考虑能否用一点处导数的定义公式

一、题目

荒原之梦考研数学

已知 $F(x)$ $=$ $\begin{cases}\frac{f(x)}{x}, & x \neq 0, \ f(0), & x=0,\end{cases}$ 其中 $f(x)$ 在 $x$ $=$ $0$ 处可导. 且 $f^{\prime}(0)$ $\neq$ $0$, $f(0)$ $=$ $0$, 则 ( )

(A). $x$ $=$ $0$ 是 $F(x)$ 的连续点

(B). $x$ $=$ $0$ 是 $F(x)$ 的第一类间断点

(C). $x$ $=$ $0$ 是 $F(x)$ 的第二类间断点

(D). 以上说法都不对

难度评级：

微分方程和洛必达运算的结合

一、题目

荒原之梦考研数学

已知 $y$ $=$ $y(x)$ 是方程 $y^{\prime \prime}$ $+$ $2 y^{\prime}$ $+$ $y$ $=$ $\mathrm{e}^{3 x}$ 的解, 且满足 $y(0)$ $=$ $y^{\prime}(0)$ $=$ $0$.

则当 $x \rightarrow 0$时, 与 $y(x)$ 为等价无穷小的是 ( )

(A). $\sin x^{2}$

(B). $\sin x$

(C). $\ln \sqrt{1+x^{2}}$

(D). $\ln \left(1+x^{2}\right)$

难度评级：

2024年考研数二第21题解析：证明绝对值式子小于XX，需要“两头围堵”

一、题目

荒原之梦考研数学

设函数 $f(x)$ 具有 2 阶导数, 且 $f^{\prime}(0)$ $=$ $f^{\prime}(1)$, $\left|f^{\prime \prime}(x)\right| \leq 1$, 证明:

(1) 当 $x \in(0,1)$ 时, $|f(x)-f(0)(1-x)-f(1) x|$ $\leq$ $\frac{x(1-x)}{2}$;

(2) $\left|\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{~d} x-\frac{f(0)+f(1)}{2}\right|$ $\leq$ $\frac{1}{12}$.

难度评级：

页码： 123

阶数越高的无穷小越小，阶数越大的无穷大越大

一、题目

荒原之梦考研数学

已知，当 $x \rightarrow 0$ 时：

$$
\begin{aligned}
\alpha(x) & = \tan x-\sin x \\ \\
\beta(x) & = \sqrt{1+x^{2}}-\sqrt{1-x^{2}} \\ \\
\gamma(x) & = \int_{0}^{1-\cos x} \sin t \mathrm{~d} t
\end{aligned}
$$

都是无穷小，将它们关于 $x$ 的阶数从低到高排列，正确的顺序为（）

(A). $\alpha(x)$, $\beta(x)$, $\gamma(x)$

(B). $\alpha(x)$, $\gamma(x)$, $\beta(x)$

(C). $\beta(x)$, $\alpha(x)$, $\gamma(x)$

(D). $\gamma(x)$, $\alpha(x)$, $\beta(x)$

难度评级：

分段函数求不定积分的两种常用方法：不定积分法和变上限积分法

一、题目

荒原之梦考研数学

已知 $f(x)$ $=$ $\max \left\{1, x^{2}\right\}$ ，则 $\int f(x) \mathrm{~d} x$ $=$ $?$

(A). $\begin{cases}
\frac{x^{3}}{3}+C, & x<-1 \\ x+C, & -1 \leq x \leq 1 \\\ \frac{x^{3}}{3}+C, & x>1
\end{cases}$

(B). $\begin{cases}
x^{3} – \frac{2}{3}+\mathrm{C}, & x<-1 \\\ x+\mathrm{C}, & -1 \leq x \leq 1 \\\ \frac{x^{3}}{3}+\frac{2}{3}+\mathrm{C}, & x>1
\end{cases}$

(C). $\begin{cases}
\frac{x^{3}}{3}+C_{1}, & x<-1 \\\ x+C\_{2}, & -1 \leq x \leq 1 \\\ \frac{x^{3}}{3}+C\_{3}, & x>1
\end{cases}$

(D). $\begin{cases}
x^{3} – \frac{4}{3}+\mathrm{C}, & x<-1 \\\ x+\mathrm{C}, & -1 \leq x \leq 1 \\\ \frac{x^{3}}{3}+\frac{2}{3}+\mathrm{C}, & x>1
\end{cases}$

难度评级：

变上限积分求原函数和不定积分求原函数的区别

前言

在求解一个函数的原函数的时候，我们常用的方法就是计算其不定积分。但其实，我们也可以使用计算其变上限积分的方式求解原函数。

那么，这两种求解原函数的方法有哪些区别呢？

在本文中，荒原之梦考研数学将通过一些图片和实例，帮助大家理解这一知识点。

能用等号连接的条件就是“充要”条件

一、题目

荒原之梦考研数学

$I$ $=$ $\lim \limits_{x \rightarrow \infty} \frac{\mathrm{e}^{\sin \frac{1}{x}}-1}{\left(1+\frac{1}{x}\right)^{k}-\left(1+\frac{1}{x}\right)}$ $=$ $a$ $\neq$ $0$ 成立的充要条件是 ( )

(A). $k \neq 1$

(B). $k>1$

(C). $k>0$

(D). 与 $k$ 无关

难度评级：

为了表示不同阶的无穷大，我们发明了一种标记方式

一、题目

荒原之梦考研数学

已知 $\lim \limits_{x \rightarrow \infty} \left(\frac{x^{2}}{x+1}-a x-b\right)$ $=$ $0$, 则 ( )

(A). $a=1$, $b=1$

(B). $a=-1$, $b=-1$

(C). $a=1$, $b=-1$

(D). $a=-1$, $b=1$

难度评级：

0 乘以无穷大（∞）还是 0，震荡时无穷大不存在

一、题目

荒原之梦考研数学

当 $x \rightarrow 0$ 时, $\frac{1}{x^{2}} \sin \frac{1}{x}$ 是（）

(A). 无穷小

(C). 无界但非无穷大

(B). 无穷大

(D). 有界但非无穷小

难度评级：

三角函数 sin x 的函数图像和常用特殊点

一、前言

三角函数 $y = \sin x$ 是考研数学中常用的函数之一。在本文中，荒原之梦考研数学将给出关于三角函数 $y = \sin x$ 的函数图像以及常用的特殊点，以供大家参考查阅。

难度评级：

为什么震荡时没有“无穷大”：因为破坏了无穷大趋于路径的唯一性和单向性

前言

一般情况下，对于下面这些量是无穷大量，我们应该是没有疑问的：

$$
\begin{aligned}
& \lim_{ x \rightarrow 0^{+} } \ln x & \rightarrow \infty \\ \\
& \lim_{ x \rightarrow 0^{+} } \frac{1}{x} & \rightarrow \infty \\ \\
& \lim_{ x \rightarrow + \infty } x & \rightarrow \infty \\ \\
& \lim_{ x \rightarrow + \infty } \ln x & \rightarrow \infty \\ \\
& \lim_{ x \rightarrow + \infty } x^{2} & \rightarrow \infty \\ \\
& \lim_{ x \rightarrow + \infty } e^{x} & \rightarrow \infty
\end{aligned}
$$

但是，对于下面这些量是否是无穷大量，我们可能会有一些疑问，在本文中，荒原之梦考研数学将帮助大家解决这些疑问：

$$
\begin{aligned}
& \lim_{ x \rightarrow 0 } \left( \frac{1}{x^{2}} \sin \frac{1}{x} \right) & \rightarrow ? \\ \\
& \lim_{n \rightarrow \infty} (-1)^{n} (\sqrt{n}) & \rightarrow ?
\end{aligned}
$$

荒原之梦考研数学网成立于 2017 年，是一个致力于考研数学的学习平台，科目涵盖数学一、数学二和数学三考研大纲要求的高等数学、线性代数和概率统计三门课，内容包含知识点、真题和练习题的详细解析讲义、交互式的公式学习系统和多样化的思维导图。荒原之梦网以内容详尽，条理清晰，形象生动与通俗易懂为鲜明特色，致力于提升考研数学实战能力，帮助同学们高效学习，快乐学习。