一、题目
由曲线 $y=1-(x-1)^{2}$ 及直线 $y=0$ 围成图形绕 $y$ 轴旋转而成立体的体积 $V$ 可以表示成什么？
示意图：
难度评级：
继续阅读“求解以 Y 轴为区间绕 Y 轴旋转的曲线所形成的立体的体积”求解以 Y 轴为区间绕 Y 轴旋转的曲线所形成的立体的体积
一、题目
分类： 高等数学
一个式子两个未知数怎么办——将两个未知数分别放在式子的两端
一、题目
曲线 $y=\cos x\left(x \in\left[0, \frac{\pi}{2}\right]\right)$ 与 $x$ 轴, $y$ 轴所围面积被曲线 $y=a \sin x$ 等分，则 $a=?$
示意图：
难度评级：
继续阅读“一个式子两个未知数怎么办——将两个未知数分别放在式子的两端”无穷大和趋于无穷大有什么区别？做完这道题你就理解了！
一、题目
下列命题，哪些是正确的，哪些是错误的？
(1) 设 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内连续是奇函数，则 $\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x=0$.
(2) 设 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内连续，又 $\lim \limits_{R \rightarrow+\infty} \int_{-R}^{R} f(x) \mathrm{d} x$ 存在，则 $\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛.
(3) $\int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x, \int_{a}^{+\infty} g(x) \mathrm{d} x$ 均发散, 则 $\int_{a}^{+\infty}[f(x)+g(x)] \mathrm{d} x$ 可能发散, 也可能收敛.
(4) 若 $\int_{-\infty}^{0} f(x) \mathrm{d} x$ 与 $\int_{0}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 均发散, 则不能确定 $\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 是否收敛.
难度评级：
继续阅读“无穷大和趋于无穷大有什么区别？做完这道题你就理解了！”使用放缩法判断反常积分的敛散性：大缩小更缩，小散大更散
一、题目
判断下面反常积分的敛散性：
(1) $\int_{1}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{x^{2}-1}}$.
(2) $\int_{1}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{x(x-1)}}$.
(3) $\int_{1}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{x^{2} \sqrt{x^{2}-1}}$.
(4) $\int_{1}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{x\left(x^{2}-1\right)}$.
难度评级：
继续阅读“使用放缩法判断反常积分的敛散性：大缩小更缩，小散大更散”你能找到下面哪个反常积分是发散的吗
一、题目
下列反常积分发散的是哪个？
(A) $\int_{-1}^{1} \frac{1}{\sin x} \mathrm{~d} x$.
(B) $\int_{-1}^{1} \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} \mathrm{~d} x$.
(C) $\int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-x^{2}}
\mathrm{~d} x$.
(D) $\int_{2}^{+\infty} \frac{1}{x \ln ^{2} x} \mathrm{~d} x$.
难度评级：
继续阅读“你能找到下面哪个反常积分是发散的吗”含有无穷多项相加的数列极限问题很可能就可以转化为积分问题
一、题目
$$
I = \lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{\sqrt{n^{2}+4}}+\frac{1}{\sqrt{n^{2}+16}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n^{2}+4 n^{2}}}\right)=?
$$
难度评级：
继续阅读“含有无穷多项相加的数列极限问题很可能就可以转化为积分问题”不是所有的变限积分都要进行求导运算：变限积分也可以是一个周期函数
一、题目
$$
I = \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{\int_{0}^{n \pi}|\sin x| \mathrm{d} x}{(n+1) \pi}=?
$$
难度评级：
继续阅读“不是所有的变限积分都要进行求导运算：变限积分也可以是一个周期函数”你知道“波浪递增”吗：一点处一阶导是否大于零与该点邻域内函数是否单调增或者单调减无关
一、题目
已知函数 $f(x)$ 在 $x=x_{0}$ 的邻域内可导, 则 $f^{\prime}\left(x_{0}\right)>0$ 是 $f(x)$ 在 $x=x_{0}$ 的某邻域内单调增的 ( )
(A) 充分必要条件
(B) 必要条件但非充分条件
(C) 充分条件但非必要条件
(D) 既非必要也非充分条件
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继续阅读“你知道“波浪递增”吗：一点处一阶导是否大于零与该点邻域内函数是否单调增或者单调减无关”带绝对值的函数不一定不可导：用定义分析是普适的方法
一、题目
下列函数中在 $x=0$ 处不可导的是哪一个？
(A) $\int_{0}^{x}(|t|+t) d t$
(B) $|x|\left[x+\int_{0}^{|x|} e^{t^{2}} d t\right]$
(C) $|\tan x-\sin x|$
(D) $\sin |x|+\cos |x|$
难度评级：
继续阅读“带绝对值的函数不一定不可导：用定义分析是普适的方法”一点处的导数存在指的是该点处的左右导数都存在，但一点处的极限存在只需要一侧存在即是存在
一、题目
已知 $f(x)$ 在 $x=0$ 的某邻域有定义，且 $\lim \limits_{x \rightarrow 0} \varphi(x)=0$, 则 $\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{f[\varphi(x)]-f(0)}{\varphi(x)}$ 存在是 $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导的充分必要条件吗？
难度评级：
继续阅读“一点处的导数存在指的是该点处的左右导数都存在，但一点处的极限存在只需要一侧存在即是存在”一题搞定有关函数图像的几个关键问题：单调区间，凹凸区间，极值点
一、题目
函数 $y=\frac{(x-3)^{2}}{4(x-1)}$ 的单调增区间是（），单调减区间是（），极值是（），凹区间是（），凸区间是（）
难度评级：
继续阅读“一题搞定有关函数图像的几个关键问题：单调区间，凹凸区间，极值点”题目没问是极大值点还是极小值点的时候也要求解二阶导——因为一阶导等于零的点不一定有极值
一、题目
已知 $y=y(x)$ 是由方程 $2 y^{3}-2 y^{2}+2 x y-x^{2}=1$ 确定的，则 $y=y(x)$ 的极值点是多少？
难度评级：
继续阅读“题目没问是极大值点还是极小值点的时候也要求解二阶导——因为一阶导等于零的点不一定有极值”一阶等于零的点不一定是极值点
寻找曲线上最小的曲率半径（曲率的倒数）
一、题目
曲线 $x=\cos ^{3} t$, $y=\sin ^{3} t$ 在 $t=t_{0}$ 相应的点曲率最小, 则在该点处的曲率半径为多少？
难度评级：
继续阅读“寻找曲线上最小的曲率半径（曲率的倒数）”求解参数方程任意一点处的曲率
一、题目
已知 $y=y(x)$ 由参数方程 $\left\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{2} \ln \left(1+t^{2}\right)
\\ y=\arctan t\end{array}\right.$ 确定，则 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=?$, $\frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}}=?$, $y=y(x)$ 在任意点处的曲率 $K=?$
难度评级：
继续阅读“求解参数方程任意一点处的曲率”