设函数 $f(x)$ 具有 2 阶导数, 且 $f^{\prime}(0)$ $=$ $f^{\prime}(1)$, $\left|f^{\prime \prime}(x)\right| \leq 1$, 证明:
(1) 当 $x \in(0,1)$ 时, $|f(x)-f(0)(1-x)-f(1) x|$ $\leq$ $\frac{x(1-x)}{2}$;
(2) $\left|\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{~d} x-\frac{f(0)+f(1)}{2}\right|$ $\leq$ $\frac{1}{12}$.
第 (2) 问
第 (2) 问直接利用第 (1) 问要证明的结果即可。因此，即使我们没有做出来或者没有完全做出来第 (1) 问，也可以做第 (2) 问——
这也是一些考研数学简答题的特点：一些题目的第 (2) 问其实可以直接假设第 (1) 问的结论成立，然后进行答题即可。
第 (2) 问涉及对函数 $f(x)$ 从 $0$ 到 $1$ 的定积分，那么，我们先利用第 (1) 问的已知条件，对其整体计算从 $0$ 到 $1$ 的定积分。
对第（1）问证得的结论 $f(x)$ $-$ $f(0)(1-x)$ $-$ $f(1) x$ $\leq$ $\frac{x(1-x)}{2}$ 两边同时取从 $0$ 到 $1$ 的定积分，可得：
$$
\textcolor{orangered}{\int_{0}^{1}} [f(x)-f(0)(1-x)-f(1) x] \textcolor{orangered}{\mathrm{~d} x} \leq \textcolor{orangered}{\int_{0}^{1}} \frac{x(1-x)}{2} \textcolor{orangered}{\mathrm{~d} x} \Rightarrow
$$
$$
\int_{0}^{1} \left[ f(x) – f(0) + xf(0) – xf(1) \right] \mathrm{~d} x \leq \frac{1}{2} \int_{0}^{1} (x – x^{2}) \mathrm{~d} x \Rightarrow
$$
$$
\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{~d} x + \frac{f(0) – f(1)}{2} – f(0) \leq \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} x^{2} \Big|_{0}^{1} – \frac{1}{3} x^{3} \Big|_{0}^{1} \right) \Rightarrow
$$
$$
\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{~d} x + \frac{f(0) – f(1)}{2} – f(0) \leq \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} – \frac{1}{3} \right) \Rightarrow
$$
$$
\textcolor{springgreen}{
\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{~d} x-\frac{f(0)+f(1)}{2} \leq \frac{1}{12}
}
$$
类似的，由第（1）问中的结论 $f(x)$ $-$ $f(0)(1-x)$ $-$ $f(1) x$ $\geq$ $-\frac{x(1-x)}{2}$, 可得：
$$
\int_{0}^{1}[f(x)-f(0)(1-x)-f(1) x] \mathrm{~d} x \geq \int_{0}^{1}-\frac{x(1-x)}{2} \mathrm{~d} x
$$
$$
\textcolor{springgreen}{
\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{~d} x-\frac{f(0)+f(1)}{2} \geq-\frac{1}{12}
}
$$
综上可得：
$$
\textcolor{springgreen}{
\boldsymbol{
\left|\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{~d} x-\frac{f(0)+f(1)}{2}\right| \leq \frac{1}{12}
}
}
$$ 
高等数学
涵盖高等数学基础概念、解题技巧等内容，图文并茂，计算过程清晰严谨。
线性代数
以独特的视角解析线性代数，让繁复的知识变得直观明了。
特别专题
通过专题的形式对数学知识结构做必要的补充，使所学知识更加连贯坚实。
让考场上没有难做的数学题！