利用单调函数的定义判断复合函数的单调性

一、题目

难度评级：

二、解析

由函数图像可知（详见本文附录一），在区间 $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ 内, $\sin x$ 单调增加, $\cos x$ 单调减少。

于是，对于 $x_{1}, x_{2} \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$, 且 $x_{1} < x_{2}$, 则由于 $\sin x$ 单调增加，有：

$$
\sin x_{1} < \sin x_{2}
$$

接着，由于 $\cos x$ 单调递减，有：

$$
\cos \left(\sin x_{1}\right) > \cos \left(\sin x_{2}\right) \Rightarrow
$$

$$
\textcolor{springgreen}{
f(x_{1}) > f(x_{2}), \quad x_{1} < x_{2}
}
$$

因此，函数 $f(x)$ 是一个单调递减的函数。

类似的，由于：

$$
\cos x_{1} > \cos x_{2}
$$

因此：

$$
\sin \left(\cos x_{1}\right) > \sin \left(\cos x_{2}\right) \Rightarrow
$$

$$
\textcolor{springgreen}{
g(x_{1}) > g(x_{2}), \quad x_{1} < x_{2}
}
$$

因此，函数 $g(x)$ 是一个单调递减的函数。

综上可知，本题应选 C .

根据上面的计算，我们可以对复合运算下的函数单调性做一个总结，详细内容见《复合运算对单调性和奇偶性的影响》这篇笔记。

附录一

---