无穷大乘以无穷大一定得更高阶的无穷大

一、题目

难度评级：

二、解析

A 选项

若 $f(x)$ 是比 $g(x)$ 更高阶的无穷大，则 $f(x) – g(x)$ 还是无穷大，例如：

$$
\lim_{x \rightarrow + \infty} (x^{2} – x) = \lim_{x \rightarrow + \infty} x^{2} = + \infty
$$

B 选项

如果 $f(x)$ 和 $g(x)$ 都是等价无穷大，但互为相反数，则 $f(x) + g(x)$ 是无穷小：

$$
\lim_{x \rightarrow + \infty} [x + (- x) ] = + \infty + (- \infty) = 0
$$

C 选项

无穷大乘以另一个无穷大，所得的一定是一个比原来的两个无穷大更高阶的无穷大；

一个无穷大加上另一个无穷大，所得的无穷大的阶数不会大于原来的两个无穷大中最大的无穷大的阶数。

例如：

$$
\lim_{x \rightarrow + \infty} \frac{x+x}{x \cdot x} = \lim_{x \rightarrow + \infty} \frac{2x}{x^{2}} = \lim_{x \rightarrow + \infty} \frac{2}{x} = 0
$$

或者进行如下推导计算：

$$
\begin{aligned}
& \lim \limits_{x \rightarrow+\infty} \frac{f(x)+g(x)}{f(x) g(x)} \\ \\
& = \lim \limits_{x \rightarrow+\infty} \frac{1}{g(x)}+\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} \frac{1}{f(x)} \\ \\
& = 0
\end{aligned}
$$

D 选项

只有当 $f(x)$ 和 $g(x)$ 是等价无穷大时，才有：

$$
\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} \frac{g(x)}{f(x)} = 1
$$

综上可知，本题应选 C .

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