变上限积分求原函数和不定积分求原函数的区别

前言

正文

不定积分求原函数

假设，我们有原函数 $f(x)$, 那么，用不定积分的方式求解原函数 $F(x)$ 的计算就是：

$$
\begin{aligned}
F(x) \\ \\
& = \int f(x) \mathrm{~d} x \\ \\
& = \int x \mathrm{~d} x \\ \\
& = \frac{1}{2} x^{2} + \textcolor{springgreen}{C}
\end{aligned}
$$

上面这个式子中的任意常数 $C$ 是很关键的，因为这意味着被积函数 $f(x) = x$ 的原函数不是只有一个，而是有“一簇”，这一簇原函数就可以写成：

$$
F(x) = \frac{1}{2} x^{2} + C
$$

例如，下面这些函数图象就是被积函数 $f(x) = x$ 的原函数簇的一部分：

变上限积分求原函数

如果要使用变上限积分求解 $f(t) = t$ 的原函数，则是下面这样的：

$$
\begin{aligned}
F(x) \\ \\
& = \int_{\textcolor{red}{0}}^{\textcolor{springgreen}{x}} t \mathrm{~d} t \\ \\
& = \frac{1}{2} t^{2} \Big|_{0}^{x} \\ \\
& = \frac{1}{2} x^{2} – 0 \\ \\
& = \textcolor{springgreen}{\frac{1}{2}x^{2}}
\end{aligned}
$$

$$
\begin{aligned}
F(x) \\ \\
& = \int_{\textcolor{red}{1}}^{\textcolor{springgreen}{x}} t \mathrm{~d} t \\ \\
& = \frac{1}{2} t^{2} \Big|_{1}^{x} \\ \\
& = \textcolor{springgreen}{\frac{1}{2}x^{2} – \frac{1}{2}}
\end{aligned}
$$

$$
\begin{aligned}
F(x) \\ \\
& = \int_{\textcolor{red}{2}}^{\textcolor{springgreen}{x}} t \mathrm{~d} t \\ \\
& = \frac{1}{2} t^{2} \Big|_{2}^{x} \\ \\
& = \textcolor{springgreen}{\frac{1}{2}x^{2} – 2}
\end{aligned}
$$

从上面的计算可以看出，在使用变上限积分求解被积函数原函数的时候，不同的积分下限，对应着被积函数原函数簇中的某一个具体的原函数。

特别的，当积分下限为 $0$ 时，计算所得结果加上任意常数 $C$ 之后，其实和用不定积分的方式求解出来的原函数表达式一致。

事实上，如图 02 所示，这里用变上限积分求解出来的这几个原函数就是图 01 中我们所展示的 $f(x) = x$ 的一部分原函数：

也就是说，无论在变上限积分中使用哪个数字作为积分下限，只要积分上限是单个自变量，那么，所求解出来的原函数其实就是用对应的不定积分求解出来的原函数簇中的其中一个函数。

如果我们给用变上限积分求解出来的原函数加上一个任意常数 $C$, 那么，用变上限积分求解出来的原函数也和用对应的不定积分求解出来的原函数簇一样，都能表示被积函数的所有原函数。

也就是说，下面双向箭头两边的式子其实是等价的，只不过表示方式不同（为了用以区分不同的任意常数，我们分别用 $C_{1}$, $C_{2}$ 和 $C$ 表示任意常数）：

$$
\frac{1}{2} x^{2} – \frac{1}{2} + C_{1} \Leftrightarrow \frac{1}{2} x^{2} + C
$$

$$
\frac{1}{2} x^{2} – 2 + C_{2} \Leftrightarrow \frac{1}{2} x^{2} + C
$$

用变上限积分求解原函数的优势

我们知道，分段函数的积分一般情况下可以分段求解。但是，假如我们的分段函数有 $3$ 个段，那么，分段求出来的三个原函数就需要分别用 $C_{1}$, $C_{2}$ 和 $C_{3}$ 三个字母表示三个不同的“任意常数”。

如果我们想统一这三个字母表示的任意常数，用一个字母 $C$ 表示，就需要用分段函数的原函数一定是连续函数这一性质建立 $C_{1}$, $C_{2}$ 和 $C_{3}$ 这三个字母之间的联系。

如果被积函数是分段函数，但在分段点处是【连续】的，整体上也是一个连续函数，那么，根据牛顿-莱布尼兹定理，对于连续函数，我们可以通过计算其变上限积分，来得到原函数的表达式。

为什么要用变上限积分，而不是变下限积分

根据牛顿-莱布尼兹公式，我们知道，变上限积分的计算公式如下：

$$
\int_{a}^{x} f(x) = \textcolor{springgreen}{F(x)} – F(a)
$$

而如果是变下限积分，则是：

$$
\int_{x}^{a} f(x) = F(a) \textcolor{orangered}{- F(x)}
$$

所以，如果要用变下限积分求解原函数也可以，但是求出来的原函数还需要再乘以 “$-1$” 才是我们真正要求解的原函数，这样一来，还不如直接使用变上限积分

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