一、题目
设 $\boldsymbol{A}$ 为 $3$ 阶矩阵，交换 $\boldsymbol{A}$ 的第 $2$ 行和第 $3$ 行，再将第 $2$ 列的 $-1$ 倍加到第一列，得到矩阵 $\begin{bmatrix} -2 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{bmatrix}$, 则 $\boldsymbol{A}^{-1}$ 的迹 $\operatorname{tr} \left(\boldsymbol{A}^{-1}\right) = \underline{\qquad\qquad}$.
二、解析
以下三种解法共同的解题思路就是：
先求解出矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的表达式，再求解出矩阵 $\boldsymbol{A}^{-1}$ 的表达式，从而得到矩阵 $\boldsymbol{A}^{-1}$ 的迹 $\operatorname{tr} \left(\boldsymbol{A}^{-1}\right)$.
解法 1
根据矩阵乘法运算的左行右列性质，可知，“交换 $\boldsymbol{A}$ 的第 $2$ 行和第 $3$ 行”就相当于在矩阵 $\boldsymbol{A}$ 左侧乘以矩阵 $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}$, “将第 $2$ 列的 $-1$ 倍加到第一列”就相当于在矩阵 $\boldsymbol{A}$ 右侧乘以矩阵 $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$, 即：
$$
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0
\end{bmatrix} \boldsymbol{A} \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
-2 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 0
\end{bmatrix}
$$
于是：
$$
\begin{aligned}
& \ \boldsymbol{A} \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0
\end{bmatrix}^{-1} \begin{bmatrix}
-2 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 0
\end{bmatrix} \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } & \ \boldsymbol{A} = \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0
\end{bmatrix}^{-1} \begin{bmatrix}
-2 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 0
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}^{-1} \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } & \ \boldsymbol{A} = \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
-2 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 0
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1
\end{bmatrix} \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } & \ \boldsymbol{A} = \begin{bmatrix}
-2 & 1 & -1 \\ -1 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 0
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1
\end{bmatrix} \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } & \ \boldsymbol{A} = \begin{bmatrix}
-1 & 1 & -1 \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0
\end{bmatrix}
\end{aligned}
$$
于是：
$$
\boldsymbol{A}^{-1} = \begin{bmatrix}
0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ -1 & 1 & -1
\end{bmatrix}
$$
综上可知：
$$
\textcolor{lightgreen}{
\operatorname{tr} \left(\boldsymbol{A}^{-1}\right) } = 0+0+ -1 = \textcolor{lightgreen}{ -1 }
$$
注意（矩阵乘法中矩阵的次序很重要）：
$$
\begin{aligned}
\boldsymbol{A} & \textcolor{red}{\neq} \begin{bmatrix}
-2 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 0
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}^{-1} \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0
\end{bmatrix}^{-1} \\ \\
\boldsymbol{A} & \textcolor{red}{\neq} \begin{bmatrix}
-2 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 0
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0
\end{bmatrix}^{-1} \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}^{-1} \\ \\
\boldsymbol{A} & \textcolor{red}{\neq} \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}^{-1} \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0
\end{bmatrix}^{-1} \begin{bmatrix}
-2 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 0
\end{bmatrix} \\ \\
\boldsymbol{A} & \textcolor{red}{\neq} \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0
\end{bmatrix}^{-1} \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}^{-1} \begin{bmatrix}
-2 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 0
\end{bmatrix}
\end{aligned}
$$
解法 2
由题可知，矩阵 $\boldsymbol{A}$ 经过两次初等变换变成了矩阵 $\begin{bmatrix} -2 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{bmatrix}$, 那么，我们也只需要进行两次完全相反的初等变换，将矩阵 $\begin{bmatrix} -2 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{bmatrix}$ 变回矩阵 $\boldsymbol{A}$:
- 将矩阵 $\begin{bmatrix} -2 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{bmatrix}$ 第二列的 $1$ 倍加到第一列（“将第 $2$ 列的 $-1$ 倍加到第一列”得逆操作），得：$\begin{bmatrix} -1 & 0 & -1 \\ 1 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{bmatrix}$;
- 交换矩阵 $\begin{bmatrix} -1 & 0 & -1 \\ 1 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{bmatrix}$ 第二行和第三行的位置（“交换 $\boldsymbol{A}$ 的第 $2$ 行和第 $3$ 行”的逆操作），得：$\begin{bmatrix} -1 & 1 & -1 \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \end{bmatrix}$.
即：
$$
\boldsymbol{A} = \begin{bmatrix}
-1 & 1 & -1 \\
-1 & 0 & 0 \\
0 & -1 & 0
\end{bmatrix}
$$
于是：
$$
\boldsymbol{A}^{-1} = \begin{bmatrix}
0 & -1 & 0 \\
0 & 0 & -1 \\
-1 & 1 & -1
\end{bmatrix}
$$
因此：
$$
\textcolor{lightgreen}{
\operatorname{tr} \left(\boldsymbol{A}^{-1}\right) } = 0+0+ -1 = \textcolor{lightgreen}{ -1 }
$$
解法 3
根据矩阵乘法运算的左行右列性质，可知，“交换 $\boldsymbol{A}$ 的第 $2$ 行和第 $3$ 行”就相当于在矩阵 $\boldsymbol{A}$ 左侧乘以矩阵 $\boldsymbol{P}_{1} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}$, “将第 $2$ 列的 $-1$ 倍加到第一列”就相当于在矩阵 $\boldsymbol{A}$ 右侧乘以矩阵 $\boldsymbol{P}_{2} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$.
若记 $\boldsymbol{B} = \begin{bmatrix} -2 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{bmatrix}$, 则：
$$
\begin{aligned}
& \ \boldsymbol{P}_{1}\boldsymbol{A}\boldsymbol{P}_{2} = \boldsymbol{B} \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } & \ \boldsymbol{A} = \boldsymbol{P}_{1}^{-1}\boldsymbol{B}\boldsymbol{P}_{2}^{-1} \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } & \ \boldsymbol{A}^{-1} = \boldsymbol{P}_{2}\boldsymbol{B}^{-1}\boldsymbol{P}_{1}
\end{aligned}
$$
又因为：
$$
\begin{aligned}
\left(\boldsymbol{B}, \boldsymbol{E}\right) & = \begin{bmatrix}
-2 & 1 & -1 & 1 & 0 & 0 \\
1 & -1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
-1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix} \\ \\
& \textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 \\
1 & -1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
-2 & 1 & -1 & 1 & 0 & 0
\end{bmatrix} \\ \\
& \textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 \\
0 & -1 & 0 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 1 & -1 & 1 & 0 & -2
\end{bmatrix} \\ \\
& \textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 \\
0 & -1 & 0 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & -1 & 1 & 1 & -1
\end{bmatrix} \\ \\
& \textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 \\
0 & 1 & 0 & 0 & -1 & -1 \\
0 & 0 & 1 & -1 & -1 & 1
\end{bmatrix} \\ \\
& \textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \left(\boldsymbol{E}, \boldsymbol{B}^{-1}\right)
\end{aligned}
$$
于是可知：
$$
\boldsymbol{B}^{-1} = \begin{bmatrix}
0 & 0 & -1 \\
0 & -1 & -1 \\
-1 & -1 & 1
\end{bmatrix}
$$
因此：
$$
\begin{aligned}
\boldsymbol{A}^{-1} & = \boldsymbol{P}_{2}\boldsymbol{B}^{-1}\boldsymbol{P}_{1} \\ \\
& = \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
-1 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
0 & 0 & -1 \\
0 & -1 & -1 \\
-1 & -1 & 1
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0
\end{bmatrix} \\ \\
& = \begin{bmatrix}
0 & -1 & 0 \\
0 & 0 & -1 \\
-1 & 1 & -1
\end{bmatrix}
\end{aligned}
$$
综上：
$$
\textcolor{lightgreen}{
\operatorname{tr} \left(\boldsymbol{A}^{-1}\right) } = 0+0+ -1 = \textcolor{lightgreen}{ -1 }
$$
三、相关知识
[01]. 《峰图 | 基于“动线交点”理论理解幂零矩阵的“塌缩”机制》
[02]. 《相似矩阵常用性质：主对角线和相等、对应的行列式值相等》
[03]. 《相似矩阵的性质汇总》
[04]. 《秩为 1 的矩阵的一些性质》
[05]. 《线性代数中“对角化”相关概念与性质的联合讲解》
[06]. 《初等变换求逆法的形象理解：把单位矩阵 E 看作一张“白纸”或“原点”》
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