2022考研数二第14题解析：三阶常系数线性齐次微分方程的求解

一、题目

$y^{\prime\prime\prime} – 2 y^{\prime\prime} + 5 y^{\prime} = 0$, 通解 $y\left(x\right) = \underline{\qquad\qquad}$.

二、解析

$\textcolor{lightgreen}{\blacktriangleright}$ 首先，微分方程 $y^{\prime\prime\prime} – 2 y^{\prime\prime} + 5 y^{\prime} = 0$ 对应的特征方程为：

$$
r^{3} – 2 r^{2} + 5 r = 0
$$

$\textcolor{lightgreen}{\blacktriangleright}$ 求解上面的特征方程，得：

$$
\begin{aligned}
& \ r^{3} – 2 r^{2} + 5 r = 0 \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } & \ r \left(r^{2} – 2 r + 5\right) = 0 \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } & \ \textcolor{lightgreen}{ r_{1} = 0 }, \ \textcolor{lightgreen}{ r_{2} = 1 + 2 i }, \ \textcolor{lightgreen}{ r_{3} = 1 – 2 i }
\end{aligned}
$$

$\textcolor{lightgreen}{\blacktriangleright}$ 对于三阶常系数线性齐次微分方程，根据特征值为实根时候的通解计算公式，以及特征值为共轭复根时候的通解计算公式可知，该微分方程的通解为：

$$
\textcolor{lightgreen}{
y = C_{1} + \mathrm{e}^{x} \left(C_{2} \cos 2 x + C_{3} \sin 2 x\right)
}
$$

其中，$C_{1}$, $C_{2}$, $C_{3}$ 为任意常数.