[高数]举例说明特殊情况下如何计算三次方程的解

前言

考研数学题中有时会需要计算三次方程的解,这时候,我们可以先将三次方程【分解】成更低阶的一次方程和二次方程的乘积,之后利用相关公式计算。本文将通过一个例子展示这种求解方法,以作参考。

正文

例:

求解 $2x^{3} – x^{2} = 1$ 的实数解。

首先通过观察和尝试可知,$2x^{3} – x^{2} = 1$ 其中一个实数解是 $x=1$. 即 $2x^{3} – x^{2} – 1 = 0$ 可以写成 $(x-1)$ 和另外一个式子的乘积,于是:

$$
2x^{3} – x^{2} – 1 = 0 \Rightarrow
$$

$$
(x – 1) (***) = 0.
$$

接下来的就是找出 $(***)$ 的具体形式,我们可以对照着 $2x^{3} – x^{2} – 1 = 0$, 依次基于 $(x – 1) (***) = 0$ 凑出来 $2x^{3} – x^{2} – 1 = 0$ 中包含的所有元素。

要凑出 $2x^{3}$, 即 $x \cdot 2x^{2}$, 则:

$$
(x-1) (2x^{2}) = 2x^{3} – 2x^{2}.
$$

原式中是 $-x^{2}$, 上式中是 $-2x^{2}$, 因此要再加上一个 $x^{2}$, 于是:

$$
(x-1) (2x^{2} + x) = 2x^{3} – 2x^{2} + x^{2} – x.
$$

原式中没有 $-x$, 上式中有 $-x$, 因此上式中要再加上一个 $x$, 于是:

$$
(x-1) (2x^{2} + x + 1) = 2x^{3} – 2x^{2} + x^{2} – x + x – 1 \Rightarrow
$$

$$
(x-1) (2x^{2} + x + 1) = 2x^{3} – x^{2} – 1.
$$

即:

$$
(x-1) (2x^{2} + x + 1) = 0.
$$

最后,由二次方程的求解公式可知,$2x^{2} + x + 1 = 0$ 的解是虚数,因此,$2x^{3} – x^{2} – 1 = 0$ 的实数解是:

$$
x = 1.
$$

总结

本文所示的这种通过降阶来求高阶方程解的方法有一定的局限性。这种局限性表现在,只有要降阶的式子存在实数解的时候才可以比较方便的使用上述方法降阶(没有实数解的时候或许也可以,但是操作的过程可能会比较有违平常的计算习惯,毕竟涉及到了虚数)。例如,$2x^{3} – x^{2} – 1 = 0$ 存在实数解 $x=1$, 因此才可以拆出来一个 $(x-1)$. 而 $2x^{2} + x + 1 = 0$ 不存在实数解,因此不能用上述方法拆分。