[高数]有关变限积分求导的几种形式

一、前言

在考研数学中，一般涉及到变限积分的题目都会需要对变限积分进行求导运算。本文将总结几种形式的变限积分求导过程。

二、正文

注意：

1. 当我们说“求导”时，如果没有特别说明是对谁求导，而且被求导的式子中含有变量 “$x$”, 那么，求导就是对 “$x$” 求导；
2. 变现积分中的积分变量是 “$\mathrm{d} t$” 中的 “$t$”, 在积分运算中，除了 “$t$” 之外的其他变量，例如 “$x$” 都要被看作【常数】来处理。

1. $[\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t]^{\prime}$

$$
[\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t]^{\prime} =
$$

$$
f(x).
$$

注意：
$f(t)$ 中的 $t$ 既可以是单独的 $t$ 本身，也可以是由 $t$ 和一些常数及初等函数组合而成的关于 $t$ 的函数，只要这个函数中不含 $x$ 就可以按本例中的方法计算该变限积分的导数，例如：

$$
f(x) = \int_{0}^{x} \ln (1 + \sin t) dt.
$$

则：

$$
f^{\prime}(x) = \ln (1+x).
$$

2. $[\int_{0}^{x} x f(t) \mathrm{d} t]^{\prime}$

$$
[\int_{0}^{x} x f(t) \mathrm{d} t]^{\prime} =
$$

在积分运算中把 $x$ 看作常数，常数可以提到积分符号的外面。

$$
[x \int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t]^{\prime} =
$$

$$
\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t + x f(x).
$$

3. $[\int_{0}^{x} (x – t) f(t) \mathrm{d} t]^{\prime}$

$$
[\int_{0}^{x} (x – t) f(t) \mathrm{d} t]^{\prime} =
$$

$$
[\int_{0}^{x} x f(t) \mathrm{d} t – \int_{0}^{x} tf(t) \mathrm{d} t]^{\prime} =
$$

$$
[x \int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t – \int_{0}^{x} tf(t) \mathrm{d} t]^{\prime} =
$$

$$
\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t + x f(x) – xf(x) =
$$

$$
\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t.
$$

4. $[\int_{0}^{x} f(x – t) \mathrm{d} t]^{\prime}$

由 $\mathrm{d} t$ 可知，积分变量是 $t$, 但是，由 $f(x-t)$ 可知，积分函数的自变量是 $x-t$, 因此，必须统一函数自变量和积分变量，在这个过程中要特别注意对积分上限和积分下限的修改。

在这里我们必须要明确的一点是，在变限积分中，积分下限不一定小于积分上限，因此，由 $\int_{0}^{x} f(x – t) \mathrm{d} t$ 无法得出 $0 < t < x$ 这样的结论，只能知道，$t$ 对应于 $\int_{0}^{x}$, 即：

$$
t \Rightarrow \int_{0}^{x}.
$$

于是：

$$
-t \Rightarrow \int_{-0}^{-x}.
$$

注意：
当 $t \Rightarrow \int_{0}^{x}$ 时，$-t \nRightarrow \int_{x}^{0}$. 因为 $-t$ 中的负号 “$-$” 不是相当于在 $\int$ 前面加上个负号，而是对 $\int_{0}^{x}$ 中的上限和下限同时做变化，也就是对上限和下限同时加负号。

进而：

$$
x-t \Rightarrow \int_{-0+x}^{-x + x} \Rightarrow \int_{x}^{0}.
$$

于是，对于 $[\int_{0}^{x} f(x – t) \mathrm{d} t]^{\prime}$, 我们可以这样计算：

令：

$$
u = x – t.
$$

则：

$$
\mathrm{d} u = – \mathrm{d} t.
$$

于是：

$$
[ \int_{0}^{x} f(x – t) \mathrm{d} t ]^{\prime} =
$$

$$
[ – \int_{x}^{0} f(u) \mathrm{d} u ]^{\prime} =
$$

$$
[ \int_{0}^{x} f(u) \mathrm{d} u ]^{\prime} =
$$

$$
f(x).
$$

相关例题：
[1]. 计算 $\int_{x}^{y}$ $f(x+y – t)$ $\mathrm{d} t$

5. $[ \int_{1}^{\frac{1}{x}} f(xt) \mathrm{d} t ]^{\prime}$

令：

$$
u = xt.
$$

则：

$$
\mathrm{d} u = x \mathrm{d} t.
$$

于是：

$$
t \Rightarrow \int_{1}^{\frac{1}{x}} \Rightarrow xt \Rightarrow \int_{x \times 1}^{x \times \frac{1}{x}} \Rightarrow \int_{x}^{1}.
$$

$$
[ \int_{1}^{\frac{1}{x}} f(xt) \mathrm{d} t ]^{\prime} =
$$

$$
[\frac{1}{x} \int_{x}^{1} f(u) \mathrm{d} u]^{\prime} =
$$

$$
[\frac{(-1)}{x} \int_{1}^{x} f(u) \mathrm{d} u]^{\prime} =
$$

积分时 $x$ 是可以看作常数的，但是求导时 $x$ 不能被看作常数，因此，含有 $x$ 的式子是不能提到求导符号作用范围之外的。于是，这样写是错的：$\frac{(-1)}{x} [\int_{1}^{x} f(u) \mathrm{d} u]^{\prime}$.

$$
\frac{1}{x^{2}} \int_{1}^{x} f(u) \mathrm{d} u – \frac{1}{x} f(x).
$$

Tips

上述虽然都是关于变限积分求导的计算，但是，其中用到的一些计算方法也可以用于对变限积分的整理变形运算。

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更新记录

2023 年 01 月 06 日 / 第 01 次更新：补充相关链接、优化 Latex 代码、修改标题样式。

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