题目
下列函数中，在 $x = 0$ 处不可导的是 $?$.
$$A. f(x) = |x| \sin |x|$$
$$B. f(x) = |x| \sin \sqrt{|x|}$$
$$C. f(x) = \cos |x|$$
$$D. f(x) = \cos \sqrt{|x|}$$
解析
关于函数在一点处是否可导，有以下几个定理：
- 可导的充要条件
函数在一点处可导的充要条件是该点处的左右导数均存在且相等。
- 可导的必要条件
函数在一点处可导的必要条件是函数在该点处连续。即“可导必连续，连续不一定可导。”
一点处的左右导数均存在且相等可以保证该点处的函数是连续的，但是一点处的函数是连续的，并不能保证该点处的左右导数均存在且相等。
- 判断一点处是否可导的两个特殊方法
- 函数没有定义的点处一定不可导
函数本身在该点处就不存在，那么其导函数自然也不会在该点处存在。
- 尖点处一定不可导。
尖点可以理解成“不光滑”的点，由于尖点不光滑，所以尖点两侧的导函数值通常变化较大 (即导函数值不相等), 因此，函数在尖点处不可导。
但是，使用尖点判断是否可导要特别注意尖点是否一定存在。例如，本题中的 $A$ 选项，由于绝对值符号的作用 $y(x)=|x|$ 和 $g(x)=\sin |x|$ 在 $x=0$ 处都存在一个尖点，但是它们的乘积做成的新函数 $r(x)=|x| \sin |x|$ 在 $x=0$ 处是否存在尖点就不一定了，因此，对于 $A$ 选项不能直接用尖点判断其在 $x=0$ 处是否可导。
对于本题而言，可以通过计算各个选项中的函数在 $x=0$ 的左右两侧的导函数值是否存在且相等来判断。
因为不知道选项中的函数在 $x=0$ 这一点的导函数值是否存在，无法套用导数的计算公式，因此，此处计算导数的时候一般通过下面的导数定义公式完成：
$$
f^{‘}(x_{0}) = \lim_{x \rightarrow x_{0}} \frac{f(x) – f(x_{0})}{x – x_{0}}.
$$
$A$ 项：
已知 $f(x) = |x| \sin |x|$, 则：
$$
f^{‘}(0^{-}) = \lim_{x \rightarrow 0^{-}} \frac{f(x) – f(0)}{x – 0} \Rightarrow
$$
$$
\lim_{x \rightarrow 0^{-}} \frac{-x \sin (-x) – 0}{x} \Rightarrow
$$
又 $\sin (-x) \sim (-x)$, 所以:
$$
\lim_{x \rightarrow 0^{-}} \frac{x^{2}}{x} \Rightarrow
$$
$$
\lim_{x \rightarrow 0^{-}} x = 0.
$$
$$
f^{‘}(0^{+}) = \lim_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{f(x) – f(0)}{x – 0} \Rightarrow
$$
$$
\lim_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{x \sin x – 0}{x – 0} \Rightarrow
$$
$$
\lim_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{x^{2}}{x} \Rightarrow
$$
$$
\lim_{x \rightarrow 0^{+}} x = 0.
$$
由于 $0=0$, 所以 $f(x) = |x| \sin |x|$ 在 $x=0$ 处可导。
$B$ 项：
已知 $f(x) = |x| \sin \sqrt{|x|}$, 则：
$$
f^{‘}(0^{-}) = \lim_{x \rightarrow 0^{-}} \frac{f(x) – f(0)}{x – 0} \Rightarrow
$$
$$
\lim_{x \rightarrow 0^{-}} \frac{-x \sin \sqrt{-x} – 0}{x – 0} \Rightarrow
$$
$$
\lim_{x \rightarrow 0^{-}} – \sin \sqrt{-x} = 0.
$$
$$
f^{‘}(0^{+}) = \lim_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{f(x) – f(0)}{x – 0} \Rightarrow
$$
$$
\lim_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{x \sin \sqrt{x} – 0}{x – 0} \Rightarrow
$$
$$
\lim_{x \rightarrow 0^{+}} \sin \sqrt{x} = 0.
$$
由于 $0=0$, 所以 $f(x) = |x| \sin \sqrt{|x|}$ 在 $x=0$ 处可导。
$C$ 项：
已知 $f(x) = \cos |x|$, 则：
$$
f^{‘}(0^{-}) = \lim_{x \rightarrow 0^{-}} \frac{f(x) – f(0)}{x – 0} \Rightarrow
$$
$$
\lim_{x \rightarrow 0^{-}} \frac{\cos (-x) – 1}{x} \Rightarrow
$$
$$
\lim_{x \rightarrow 0^{-}} \frac{-\frac{1}{2}(-x)^{2}}{x} \Rightarrow
$$
$$
\lim_{x \rightarrow 0^{-}} -\frac{1}{2}x = 0.
$$
$$
f^{‘}(0^{+}) = \lim_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{f(x) – f(0)}{x – 0} \Rightarrow
$$
$$
\lim_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\cos x – 1}{x} \Rightarrow
$$
$$
\lim_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{-\frac{1}{2}x^{2}}{x} \Rightarrow
$$
$$
\lim_{x \rightarrow 0^{+}} – \frac{1}{2} x = 0.
$$
由于 $0=0$, 所以 $f(x) = \cos |x|$ 在 $x=0$ 处可导。
$D$ 项：
已知 $f(x) = \cos \sqrt{|x|}$, 则：
$$
f^{‘}(0^{-}) = \lim_{x \rightarrow 0^{-}} \frac{f(x)-f(0)}{x-0} \Rightarrow
$$
$$
\lim_{x \rightarrow 0^{-}} \frac{\cos \sqrt{-x} – 1}{x} \Rightarrow
$$
又：
$$
1 – \cos t \sim \frac{1}{2} t^{2}.
$$
所以有：
$$
\lim_{x \rightarrow 0^{-}} \frac{-\frac{1}{2}(-x)}{x} = \frac{1}{2}
$$
$$
f^{‘}(0^{+}) = \lim_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{f(x) – f(0)}{x – 0} \Rightarrow
$$
$$
\lim_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\cos \sqrt{x} – 1}{x – 0} = \frac{-\frac{1}{2}x}{x}=-\frac{1}{2}.
$$
由于 $\frac{1}{2} \neq – \frac{1}{2}$, 所以，$f(x) = \cos \sqrt{|x|}$ 在 $x = 0$ 处不可导。
综上可知，正确选项为 $D$.
EOF