题目
设函数 $f(x)=\arctan x$, 若 $f(x)=xf^{‘}(\xi)$, 则 $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\xi^{2}}{x^{2}} = ?$
$$
A. 1
$$
$$
B. \frac{2}{3}
$$
$$
C. \frac{1}{2}
$$
$$
D. \frac{1}{3}
$$
解析
解本题的思路就是通过已知条件凑出来 $\frac{\xi^{2}}{x^{2}}$ 这个式子。
首先凑出 $\xi^{2}$:
$$
f^{‘}(x) = \frac{1}{1+x^{2}} \Rightarrow
$$
$$
f^{‘}(\xi) = \frac{1}{1+\xi^{2}} \Rightarrow
$$
$$
f(x) = \frac{x}{1+\xi^{2}} \Rightarrow
$$
$$
\arctan x = \frac{x}{1+\xi^{2}} \Rightarrow
$$
$$
(1+\xi^{2}) \arctan x = x \Rightarrow
$$
$$
\arctan x + \xi^{2} \arctan x = x \Rightarrow
$$
$$
\xi^{2} = \frac{x – \arctan x}{\arctan x}.
$$
又，当 $x \rightarrow 0$ 时，有：
$$
x – \arctan x \sim \frac{1}{3} x^{3};
$$
$$
\arctan x \sim x.
$$
于是：
$$
\lim_{x \rightarrow 0} \xi^{2} = \frac{\frac{1}{3}x^{3}}{x} = \frac{1}{3}x^{2}.
$$
于是：
$$
\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\xi^{2}}{x^{2}} = \frac{1}{3}.
$$
综上可知，正确选项为 $D$.
EOF