2014年考研数二第05题解析

题目

设函数 $f(x)=\arctan x$, 若 $f(x)=xf^{‘}(\xi)$, 则 $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\xi^{2}}{x^{2}} = ?$

$$
A. 1
$$

$$
B. \frac{2}{3}
$$

$$
C. \frac{1}{2}
$$

$$
D. \frac{1}{3}
$$

解析

解本题的思路就是通过已知条件凑出来 $\frac{\xi^{2}}{x^{2}}$ 这个式子。

首先凑出 $\xi^{2}$:

$$
f^{‘}(x) = \frac{1}{1+x^{2}} \Rightarrow
$$

$$
f^{‘}(\xi) = \frac{1}{1+\xi^{2}} \Rightarrow
$$

$$
f(x) = \frac{x}{1+\xi^{2}} \Rightarrow
$$

$$
\arctan x = \frac{x}{1+\xi^{2}} \Rightarrow
$$

$$
(1+\xi^{2}) \arctan x = x \Rightarrow
$$

$$
\arctan x + \xi^{2} \arctan x = x \Rightarrow
$$

$$
\xi^{2} = \frac{x – \arctan x}{\arctan x}.
$$

又,当 $x \rightarrow 0$ 时,有:

$$
x – \arctan x \sim \frac{1}{3} x^{3};
$$

$$
\arctan x \sim x.
$$

于是:

$$
\lim_{x \rightarrow 0} \xi^{2} = \frac{\frac{1}{3}x^{3}}{x} = \frac{1}{3}x^{2}.
$$

于是:

$$
\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\xi^{2}}{x^{2}} = \frac{1}{3}.
$$

综上可知,正确选项为 $D$.

EOF


荒原之梦网全部内容均为原创,提供了涵盖考研数学基础知识、考研数学真题、考研数学练习题和计算机科学等方面,大量精心研发的学习资源。

豫 ICP 备 17023611 号-1 | 公网安备 - 荒原之梦 豫公网安备 41142502000132 号 | SiteMap
Copyright © 2017-2024 ZhaoKaifeng.com 版权所有 All Rights Reserved.

Copyright © 2024   zhaokaifeng.com   All Rights Reserved.
豫ICP备17023611号-1
 豫公网安备41142502000132号

荒原之梦 自豪地采用WordPress