# 初等变换求逆法的形象理解：把单位矩阵 E 看作一张“白纸”或“原点”

## 例一

$$(A, E) \rightarrow 初等行变换 \rightarrow (B, P) \Rightarrow$$

$$PA = B.$$

$$\binom{A}{E} \rightarrow 初等列变换 \rightarrow \binom{B}{P} \Rightarrow$$

$$AP = B.$$

$$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 0 & | & 1 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 2 & | & 0 & 1 & 0\\ 3 & 2 & 2 & | & 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} \Rightarrow$$

$$\begin{vmatrix} 1 & 0 & 2 & | & 0 & 1 & 0\\ 1 & 2 & -2 & | & 2 & -1 & 0\\ 2 & 3 & -2 & | & 1 & -2 & 1 \end{vmatrix}.$$

$$P=\begin{vmatrix} 0 & 1 & 0\\ 2 & -1 & 0\\ 1 & -2 & 1 \end{vmatrix}.$$

$$P=\begin{vmatrix} 0 & 1 & 0\\ 0 & -2 & 1\\ 1 & -2 & 1 \end{vmatrix}.$$

## 例二

$$(A,E) \rightarrow 初等行变换 \rightarrow (E,A^{-1}).$$

$$\binom{A}{E} \rightarrow 初等列变换 \rightarrow \binom{E}{A^{-1}}.$$

$$(A,E) =$$

$$\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 & | & 1 & 0 & 0\\ 2 & -5 & 3 & | & 0 & 1 & 0\\ 3 & 7 & 4 & | & 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} \Rightarrow$$

$$\begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 & | & -\frac{41}{48} & \frac{13}{48} & \frac{7}{16}\\ 0 & 1 & 0 & | & \frac{1}{48} & -\frac{5}{48} & \frac{1}{16}\\ 0 & 0 & 1 & | & \frac{29}{48} & -\frac{1}{48} & -\frac{3}{16} \end{vmatrix}.$$

$$A^{-1}=\begin{vmatrix} -\frac{41}{48} & \frac{13}{48} & \frac{7}{16}\\ \frac{1}{48} & -\frac{5}{48} & \frac{1}{16}\\ \frac{29}{48} & -\frac{1}{48} & -\frac{3}{16} \end{vmatrix}.$$

EOF