初等变换求逆法的形象理解:把单位矩阵 E 看作一张“白纸”或“原点”

前言

本文将通过几个例子来解释如何通过把单位矩阵 $E$ 看作一张“白纸”或“原点”的方式来形象化地理解一些做题思路——这种理解并不是严格的数学推导,但是能帮助我们化解一些题目“为什么要这么做”的疑问。

例一

设 $A=\begin{vmatrix}
1 & 1 & 0\\
1 & 0 & 2\\
3 & 2 & 2
\end{vmatrix}$ 经过有限次的初等变换转化成为 $B=\begin{vmatrix}
1 & 0 & 2\\
1 & 2 & -2\\
2 & 3 & -2
\end{vmatrix}$, 求一个可逆矩阵 $P$, 使 $PA=B$.

由于 $A$ 是左乘 $P$, 根据“左行右列”的原则,$PA=B$ 的含义就是:

对 $A$ 做一系列的行变换,使得 $A$ 变成 $B$.

但是,对于如何求出 $P$, 线性代数的课本中几乎没有明确的公式或者性质可用。

但是,我们知道,当我们做一些【行变换操作】将 $A$ 变成 $B$ 的过程中,这些【行变换操作】我们是可以做出来的,而这些【行变换操作】其实就对应着矩阵 $P$. 进而可以想到,如果我们能够将这些【行变换操作】组合起来,形成对应的矩阵,那么,这个矩阵就是矩阵 $P$.

为了达成上面的目标,我们就需要一个【平台】,这个平台必须足够【基础】,能反映并记录施加在其上每一步变化(相当于一张“白纸”)。这个【平台】最佳的选择就是——单位矩阵 $E$.

如果我们把对 $A$ 在变成 $B$ 的过程中进行的每一步【行】初等变换都同步施加到初始状态为单位矩阵的矩阵上,那么,在 $A$ 变成 $B$ 的时候,我们就得到了一个满足 $PA=B$ 条件的可逆矩阵 $P$, 形式如下:

$$
(A, E) \rightarrow 初等行变换 \rightarrow (B, P) \Rightarrow
$$

$$
PA = B.
$$

同样的,如果要找的是满足 $AP=B$ 的可逆矩阵 $P$, 则要对 $A$ 做初等列变换,形式如下:

$$
\binom{A}{E} \rightarrow 初等列变换 \rightarrow \binom{B}{P} \Rightarrow
$$

注意:若要使用列变换,则 $E$ 相对于 $A$ 的位置应该是【竖着】放置的,因为列变换影响的是列,只有竖着放才能让 $E$ 记录到所做的列变换,【横着】放置的 $E$ 只能记录到所作的行变换。

$$
AP = B.
$$

对于本题,有:

$$
\begin{vmatrix}
1 & 1 & 0 & | & 1 & 0 & 0\\
1 & 0 & 2 & | & 0 & 1 & 0\\
3 & 2 & 2 & | & 0 & 0 & 1
\end{vmatrix}
\Rightarrow
$$

$$
\begin{vmatrix}
1 & 0 & 2 & | & 0 & 1 & 0\\
1 & 2 & -2 & | & 2 & -1 & 0\\
2 & 3 & -2 & | & 1 & -2 & 1
\end{vmatrix}.
$$

于是:

$$
P=\begin{vmatrix}
0 & 1 & 0\\
2 & -1 & 0\\
1 & -2 & 1
\end{vmatrix}.
$$

由于初等行变换的方式不止上述一种,因此,也可以有:

$$
P=\begin{vmatrix}
0 & 1 & 0\\
0 & -2 & 1\\
1 & -2 & 1
\end{vmatrix}.
$$

例二

求矩阵 $A=\begin{vmatrix}
1 & 2 & 3\\
2 & -5 & 3\\
3 & 7 & 4
\end{vmatrix}$ 的逆矩阵。

求逆矩阵的方法有多种,对于这种以实数方式完全给定的矩阵求其逆矩阵,一般使用如下公式:

$$
(A,E) \rightarrow 初等行变换 \rightarrow (E,A^{-1}).
$$

或者:

$$
\binom{A}{E} \rightarrow 初等列变换 \rightarrow \binom{E}{A^{-1}}.
$$

那么,如何理解上面这两个公式呢?

如果我们把 $E$ 看作“数轴”的“原点”,那么,$A$ 和 $A^{-1}$ 就是对称于“原点” $E$ 分布在“数轴”上的。在这个“数轴”上,移动一个矩阵的方式就是对其做初等变换(横轴做初等行变换,纵轴做初等列变换),【不同】的初等行(列)变换会导致矩阵(无论是不是同一个矩阵)在“数轴”上移动【不同】的“距离”,而【相同】的初等行(列)变换会导致矩阵(无论是不是同一个矩阵)在“数轴”上移动【相同】的距离。

于是,如果,我们同时对 $A$ 和 $E$ 施加同样的初等变换,那么,就相当于把 $A$ 和 $E$ 做了平移,当 $A$ 变成(移动到)$E$ 的时候,$E$ 就变成(移动到)了 $A^{-1}$, 如图 1 ~ 2 所示:

图 1.
图 2.

于是,有:

$$
(A,E) =
$$

$$
\begin{vmatrix}
1 & 2 & 3 & | & 1 & 0 & 0\\
2 & -5 & 3 & | & 0 & 1 & 0\\
3 & 7 & 4 & | & 0 & 0 & 1
\end{vmatrix}
\Rightarrow
$$

$$
\begin{vmatrix}
1 & 0 & 0 & | & -\frac{41}{48} & \frac{13}{48} & \frac{7}{16}\\
0 & 1 & 0 & | & \frac{1}{48} & -\frac{5}{48} & \frac{1}{16}\\
0 & 0 & 1 & | & \frac{29}{48} & -\frac{1}{48} & -\frac{3}{16}
\end{vmatrix}.
$$

于是:

$$
A^{-1}=\begin{vmatrix}
-\frac{41}{48} & \frac{13}{48} & \frac{7}{16}\\
\frac{1}{48} & -\frac{5}{48} & \frac{1}{16}\\
\frac{29}{48} & -\frac{1}{48} & -\frac{3}{16}
\end{vmatrix}.
$$

根据上面的理解方式,我们也可以理解为什么当一个行列式的值为 $0$ 的时候,这个行列式就是不可逆的了:因为 $|E| \neq 0$, 所以,当一个行列式等于零的时候,它永远都无法通过行变换或者列变换变成 $E$.

EOF


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