题目
设函数 $y = f(x)$ 是由方程 $\cos(xy) + \ln y – x = 1$ 确定，则 $\lim_{n \rightarrow \infty} [f(\frac{2}{n}) – 1] = ?$
$$
A. 2
$$
$$
B. 1
$$
$$
C. -1
$$
$$
D. -2
$$
解析
本题是关于隐函数的，涉及【隐函数】的题目一般都【需要】进行【求导】，这是这类题目解题思路上的一个突破口。
由于，当 $n \rightarrow \infty$ 时，有：
$$
\frac{2}{n} \rightarrow 0.
$$
则在 $x \rightarrow 0$ 的情况下，通过式子 $\cos(xy) + \ln y – x = 1$ 求出来的 $y$ 的取值就是 $\frac{2}{n} \rightarrow 0$ 的情况下，$f(\frac{2}{n})$ 的取值，也是 $f(0)$ 的取值。
将 $x = 0$ 带入 $\cos(xy) + \ln y – x = 1$, 得：
$$
1 + \ln y = 1 \Rightarrow
$$
$$
\ln y = 0 \Rightarrow y = 1.
$$
即：
$$
f(\frac{2}{n}) = f(0) = 1.
$$
又知函数在点 $x=x_{0}$ 处的导数的定义公式为：
$$
f^{‘}(x_{0}) = \lim_{x \rightarrow x_{0}} \frac{f(x) – f(x_{0})}{x – x_{0}}.
$$
于是：
$$
f^{‘}(0) = \lim_{\frac{2}{n} \rightarrow 0} \frac{f(\frac{2}{n}) – f(0)}{\frac{2}{n}} \Rightarrow
$$
$$
\frac{1}{2} \lim_{\frac{2}{n} \rightarrow 0} n [f(\frac{2}{n}) – f(0)].
$$
因此，我们只需要求出 $f^{‘}(0)$ 即可算出答案。
在式子 $\cos(xy) + \ln y – x = 1$ 两边同时对 $x$ 求导，得：
$$
-\sin (xy) (y + x \frac{dy}{dx}) + \frac{1}{y} \frac{dy}{dx} – 1 = 0 \Rightarrow
$$
把 $x=0$, $y=1$ 带入上式，得：
注意：由于我们要的是 $f^{‘}(0)$ 而不是 $f^{‘}(x)$, 因此，这里可以先代入数值，能求出 $f^{‘}(0)$ 即可，这样可以简化运算。
$$
\frac{dy}{dx} – 1= 0 \Rightarrow
$$
$$
\frac{dy}{dx} = 1.
$$
即：
$$
f^{‘}(0) = 1.
$$
即：
$$
\frac{1}{2} \lim_{\frac{2}{n} \rightarrow 0} n [f(\frac{2}{n}) – f(0)] = 1.
$$
于是：
$$
\lim_{\frac{2}{n} \rightarrow 0} n [f(\frac{2}{n}) – f(0)] = 2 \Rightarrow
$$
$$
\lim_{n \rightarrow \infty} n [f(\frac{2}{n}) – 1] = 2.
$$
综上可知，正确选项为 $A$.
EOF