2014年考研数二第02题解析

题目

下列曲线有渐近线的是 $?$

$$
A. y = x + \sin x
$$

$$
B. y = x^{2} + \sin x
$$

$$
C. y = x + \sin \frac{1}{x}
$$

$$
D. y = x^{2} + \sin \frac{1}{x}
$$

解析

求渐近线时,为了使工作量最小,应该遵循“先垂直,再水平,后倾斜”的顺序。因为没有无定义的点就没有垂直渐近线,判断是否有垂直渐近线最快速,应该首先判断。但是,如果存在倾斜渐近线,则求解过程一般较复杂,应该最后判断或计算。

垂直渐近线:

$A$, $B$ 两项对应的式子没有无定义的点,因此不会存在垂直渐近线。

$C$ 项无定义的点为 $0$, 则:

$$
\lim_{x \rightarrow 0} (x + \sin \frac{1}{x}) =
$$

$$
0 + \sin (\infty) = 0 + 震荡值 \Rightarrow
$$

$$
无极限 \Rightarrow 无垂直渐近线
$$

$D$ 项无定义的点为 $0$, 则:

$$
\lim_{x \rightarrow 0} (x^{2} + \sin \frac{1}{x}) =
$$

$$
0 + \sin (\infty) =0 + 震荡值 \Rightarrow
$$

$$
无极限 \Rightarrow 无垂直渐近线
$$

综上,这四个式子都没有垂直渐近线。

水平渐近线:

由于这四个式子中,每个式子都加了一个 $x$ 或者 $x^{2}$, 因此,当 $x \rightarrow \infty$ 时,每个式子都是趋于无穷的,因此,这四个式子都没有水平渐近线。

注意:在 $x$ 轴的一侧有水平渐近线就不会在同侧存在倾斜渐近线,但一侧有水平渐近线不影响另一侧存在倾斜渐近线。同样地,在 $x$ 轴的一侧存在倾斜渐近线就不会在同侧存在水平渐近线,但一侧有倾斜渐近线不影响另一侧存在水平渐近线。

倾斜渐近线:

由题知:

$$
A: \lim_{x \rightarrow \infty} (1 + \frac{\sin x}{x}) = 1.
$$

$$
B: \lim_{x \rightarrow \infty} (x + \frac{\sin x}{x}) = \infty.
$$

$$
C: \lim_{x \rightarrow \infty} (1 + \frac{\sin \frac{1}{x}}{x}) = 1.
$$

$$
D: \lim_{x \rightarrow \infty} (x + \frac{\sin \frac{1}{x}}{x}) = \infty.
$$

又:

$$
A: \lim_{x \rightarrow \infty} (x + \sin x – 1 \cdot x) = 震荡值.
$$

$$
C: \lim_{x \rightarrow \infty} (x + \sin \frac{1}{x} – 1 \cdot x) = 0.
$$

所以,$C$ 项的式子存在倾斜渐近线,该倾斜渐近线为:

$$
y = x.
$$

综上可知,正确选项为 $C$.

EOF


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