由矩阵 AB = O 可以推出的一些结论

前言

本文将讨论在不同的情况下由 $AB = O$ 所能推导出来的一些性质。

注意:

正文中的 “$O$” 表示零矩阵,”$0$” 表示数字零。

正文

1. $AB=O$ $\Rightarrow$ $|A| = 0$ 或 $|B|=0$

仅由条件 $AB = O$ 能够推出 $|A| = 0$ 或者 $|B| = 0$.

证明:

$$
AB = O \rightarrow
$$

$$
|AB| = |A| |B| = 0 \Rightarrow
$$

$$
|A| = 0 ;
$$

或:

$$
|B| = 0.
$$

注意:

  1. 若 $B$ 可逆,即 $|B| \neq 0$, 则一定有 $|A| = 0$, 而且,$A$ 是零矩阵。同理,当 $A$ 可逆时,一定有 $|B| = 0$, 而且,$B$ 是零矩阵。对于此条的理解可参见下面的《3. $A$ 可逆且 $AB = O$ $\Rightarrow$ $B = O$》
  2. 若 $A$ 与 $B$ 都不是零矩阵且 $A$ 与 $B$ 都不可逆,也可能有 $AB=O$. 对于此条的理解可参见下面的《2. $AB=O$ 且 $A$ 和 $B$ 都不是零矩阵 $\Rightarrow$ $|A| = |B| = 0$》
  3. 不存在 $A$ 与 $B$ 同时都可逆且 $AB = O$ 的可能。对于此条的理解同样可参见下面的《3. $A$ 可逆且 $AB = O$ $\Rightarrow$ $B = O$》

2. $AB=O$ 且 $A$ 和 $B$ 都不是零矩阵 $\Rightarrow$ $|A| = |B| = 0$

由条件 $AB = O$ 且 $A$ 和 $B$ 都不是零矩阵,可以推出:

$$
|A| = |B| = 0.
$$

注意:【$A$ 和 $B$ 都不是零矩阵】不代表 $A$ 或者 $B$ 一定可逆。

证明:

对于 $AX=0$ 而言,若存在非零解(即非零矩阵)$B$, 则一定有:

$$
|A| = 0.
$$

同理可得:

$$
|B| = 0.
$$

即,$|A| = |B| = 0$.

3. $A$ 可逆且 $AB = O$ $\Rightarrow$ $B = O$

在多数线性代数教材中,我们总能找到类似下面这样的描述:

由 $AB = O$ 不能推出 $A = O$ 或者 $B = O$.

但是,如果我们除了知道 $AB = O$, 还知道其他一些条件,那么,就可能获知更多有用的结论。

情况一:若 $A$ 可逆且 $AB = O$ $\Rightarrow$ $B = O$;

情况二:若 $B$ 可逆且 $AB = O$ $\Rightarrow$ $A = O$.

上面这个规律我并没有严格证明,只是在做题的过程中发现存在该规律,我会在下面给出可以应用该规律的题目。需要注意的是,本节上述规律只能用于解题过程中的辅助判断。

我对于本节中上述规律的理解是这样的(以情况一为例):

在 $A$ 可逆的情况下,若 $AB = O$ 中的 $B$ 不是零矩阵,而仅仅是一个不可逆但非零矩阵的矩阵,即 $B$ 中至少存在一个不等于 $0$ 的元素,也就是说,必有 $r(B) \geqslant 1$. 那么,我们知道,$B$ 左乘一个可逆矩阵只相当于对 $B$ 做了一系列的初等行变换,而初等变换是不改变矩阵的秩的,因此,一定有:$r(AB) \geqslant 1$. 但是,零矩阵的秩必须为零,所以 $B$ 必须为零矩阵。

相关题目一:

$A$ 为 $n$ 阶矩阵,满足 $A^{2} – 3A – 2E = O$, 则 $A^{-1} = ?$

解法一(不使用本节的规律):

因为:

$$
A ( A – 3E ) = 2E \Rightarrow
$$

$$
A \frac{1}{2}( A – 3E ) = E
$$

所以:

$$
A^{-1} = \frac{1}{2}( A – 3E ).
$$

解法二(使用本节的规律):

因为:

$$
A^{2} – 3A – 2E = O \Rightarrow
$$

$$
A^{2} – 3A – 2AA^{-1} = O \Rightarrow
$$

$$
A(A – 3E – 2A^{-1}) = O.
$$

又由于要求的是 $A^{-1}$, 所以 $A$ 一定可逆,因此,根据本节的规律,有:

$$
A – 3E – 2A^{-1} = O \Rightarrow
$$

$$
A – 3E = 2A^{-1} \Rightarrow
$$

$$
A^{-1} = \frac{1}{2}( A – 3E ).
$$

相关题目二:

已知 $A$ 为 $n$ 阶可逆矩阵,$\alpha_{1}. \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 为 $n$ 维列向量且线性无关。证明:$A\alpha_{1}, A\alpha_{2}, A\alpha_{3}$ 线性无关。

设:

$$
k_{1}A\alpha_{1} + k_{2}A\alpha_{2} + k_{3}A\alpha_{3} = O \Rightarrow
$$

$$
A(k_{1}\alpha_{1} + k_{2}\alpha_{2} + k_{3}\alpha_{3}) = O \Rightarrow ①
$$

$$
A^{-1}A(k_{1}\alpha_{1} + k_{2}\alpha_{2} + k_{3}\alpha_{3}) = O \Rightarrow
$$

$$
(k_{1}\alpha_{1} + k_{2}\alpha_{2} + k_{3}\alpha_{3}) = O. ②
$$

注意:

由于 $A$ 是可逆的,因此,根据本节的规律,由 $①$ 式直接可得 $②$ 式。

又因为 $\alpha_{1}. \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 线性无关,所以,$k_{1}, k_{2}, k_{3}$ 不全为零,于是,$A\alpha_{1}, A\alpha_{2}, A\alpha_{3}$ 线性无关。

总结

综上,我们可以初步总结出下面这样的规律:

【零】矩阵 $\times$ 【可逆】矩阵 = $O$;

【可逆】矩阵 $\times$ 【零】矩阵 = $O$;

存在,【不可逆且非零】矩阵 $\times$ 【不可逆且非零】矩阵 = $O$.

即:

若两个矩阵相乘能得到一个零矩阵,则这两个矩阵中至少有一个必须是不可逆矩阵。

注意:上述规律只是一种基于实践的总结,没有经过严格的逻辑证明。

EOF


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