2017年考研数二第09题解析

题目

曲线 $y=x(1+\arcsin \frac{2}{x})$ 的斜渐近线方程为 $?$

解析

本题使用斜渐近线的公式代入计算即可。需要注意的是，“无穷小”指的是 $0$, 而不是 $-\mathrm{\infty }$, “无穷小”不是一个非常非常小的负数，“无穷小”就是 $0$, 在做极限问题的时候格外需要注意这一点。

斜渐近线的斜率 $k=$

$$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{y}{x}=$$

$$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}(1+\arcsin \frac{2}{x})=1.$$

斜渐近线的截距 $b=$

$$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}y–kx=$$

$$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}x(1+\arcsin \frac{2}{x})–x=$$

$$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}x\arcsin \frac{2}{x}=$$

$$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}x\frac{2}{x}=2.$$

因此，斜渐近线方程为：

$$y=x+2.$$

综上可知，正确答案为 $y=x+2$.

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