题目
下列反常积分中收敛的是 $?$
$$
A. \int_{2}^{+ \infty} \frac{1}{\sqrt{x}} dx
$$
$$
B. \int_{2}^{+ \infty} \frac{\ln x}{x} dx
$$
$$
C. \int_{2}^{+ \infty} \frac{1}{x \ln x} dx
$$
$$
D. \int_{2}^{+ \infty} \frac{x}{e^{x}} dx
$$
解析
方法一：
本题主要考察常见反常积分的敛散性，可以用已知公式判断。
注意：从目前看来，数二中的很多题目都是直接建立在公式上的，准确地记住并知道用该公式就很容易找到解题思路（但是否能解对还取决于计算过程是否正确）。
本题所有选项中的积分下限都是 $2$, 积分上限都是 $+ \infty$, 且 $2>1>0$, 因此，可以使用【常见反常积分敛散性的判别公式】。
$A$ 项：
$$
\frac{1}{\sqrt{x}} = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}.
$$
由于 $\frac{1}{2} \leqslant 1$, 因此 $A$ 项中的式子发散。
$B$ 项：
$$
\frac{\ln x}{x} = \frac{1}{x \ln^{-1} x}.
$$
由于 $-1 \leqslant 1$, 因此，$B$ 项中的式子发散。
$C$ 项：
由于 $\frac{1}{x \ln x}$ 中，$1 \leqslant 1$, 因此 $C$ 项中的式子发散。
由上可知，$D$ 项收敛。
方法二：
还可以通过计算判断哪些是发散的。
$A$ 项：
$$
\int_{2}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{x}} dx =
$$
$$
\int_{2}^{+\infty} x^{- \frac{1}{2}} dx =
$$
$$
2 x^{\frac{1}{2}} |_{2}^{+ \infty} =
$$
$$
+\infty.
$$
因此，$A$ 项的式子发散。
$B$ 项：
$$
\int_{2}^{+\infty} \frac{\ln x}{x} dx =
$$
$$
\int_{2}^{+\infty} \ln x d(\ln x) =
$$
$$
\frac{1}{2} (\ln x)^{2} |_{2}^{+\infty} =
$$
$$
+\infty.
$$
因此，$B$ 项的式子发散。
$$
\int_{2}^{+\infty} \frac{1}{x \ln x} =
$$
$$
\int_{2}^{+\infty}\frac{1}{\ln x} d(\ln x) =
$$
$$
\ln (\ln x) |_{2}^{+\infty} =
$$
$$
+\infty.
$$
因此，$C$ 项的式子发散。
于是，$D$ 项的式子收敛。
综上可知，正确选项为 $D$.
EOF