题目
设函数 $y=y(x)$ 由参数方程 $\left\{\begin{matrix}
x = t + e^{t},\\
y = \sin t
\end{matrix}\right.$ 确定，则 $\frac{d^{2}y}{dx^{2}}|_{t=0}$ = $?$
解析
本题就是考察参数方程求导。
由于：
$$
\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=
$$
$$
\frac{d}{dx}(\frac{dy}{dx}).
$$
$$
\frac{dy}{dx} =
$$
$$
\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}.
$$
$$
\frac{dy}{dt} =
$$
$$
\cos t.
$$
$$
\frac{dx}{dt} =
$$
$$
1 + e^{t}.
$$
于是：
$$
\frac{dy}{dx} =
$$
$$
\frac{\cos t}{1+e^{t}} = y^{‘}.
$$
则：
$$
\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=
$$
$$
\frac{d y^{‘}}{dx} =
$$
$$
\frac{\frac{dy^{‘}}{dt}}{\frac{dx}{dt}}.
$$
又：
$$
\frac{dy^{‘}}{dt} =
$$
$$
(\frac{\cos t}{1+e^{t}})^{‘} =
$$
$$
\frac{- \sin t (1+e^{t}) – \cos t (e^{t})}{(1+e^{t})^{2}}.
$$
于是：
$$
\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=
$$
$$
\frac{- \sin t (1+e^{t}) – \cos t (e^{t})}{(1+e^{t})^{2}} \cdot \frac{1}{1+e^{t}} =
$$
$$
\frac{- \sin t (1+e^{t}) – \cos t (e^{t})}{(1+e^{t})^{3}}.
$$
当 $t=0$ 时：
$$
\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=
$$
$$
\frac{0-1 \cdot 1}{(1+1)^{3}} = – \frac{1}{8}.
$$
综上可知，正确答案为 $- \frac{1}{8}$.
EOF