题目
$$
\lim_{x \rightarrow 0} [2 – \frac{\ln (1+x)}{x}]^{\frac{1}{x}} = ?
$$
解析
由于当 $x \rightarrow 0$ 时：
$$
\ln (1+x) \sim x.
$$
于是：
$$
原式 =
$$
$$
[2-1]^{\infty} = 1^{\infty}.
$$
因此，初步分析可知，本题可以借助关于 $e$ 的重要极限解出来：
$$
\lim_{x \rightarrow 0} (1+x)^{\frac{1}{x}} = \lim_{x \rightarrow \infty} (1+\frac{1}{x})^{x} = e.
$$
下面要做的，就是把题目中的式子往上式的形式上凑。
$$
\lim_{x \rightarrow 0} [1 – \frac{\ln (1+x)}{x} + 1]^{\frac{1}{x}} =
$$
$$
\lim_{x \rightarrow 0} [\frac{x – \ln (1+x)}{x} + 1]^{\frac{1}{x}} =
$$
$$
\lim_{x \rightarrow 0} [1 + \frac{x}{2}]^{\frac{1}{x}} =
$$
$$
\lim_{x \rightarrow 0} [1 +\frac{x}{2}]^{\frac{2}{x} \frac{x}{2} \frac{1}{x}} =
$$
$$
e^{\frac{x}{2} \frac{1}{x}} =
$$
$$
e^{\frac{1}{2}}.
$$
综上可知，正确答案为 $e^{\frac{1}{2}}$.
EOF