题目
曲线 $y=\frac{x^{2} + x}{x^{2} – 1}$ 的渐近线的条数为 $?$
$$
A. 0
$$
$$
B. 1
$$
$$
C. 2
$$
$$
D. 3
$$
解析
由题知：
$$
y=
$$
$$
\frac{x^{2} + x}{x^{2} – 1} =
$$
$$
\frac{x (x+1)}{(x+1)(x-1)}.
$$
则：
水平渐近线
$$
\lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{x (x+1)}{(x+1)(x-1)} =
$$
$$
\lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{x}{x-1} =
$$
$$
\lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{x}{x} = 1.
$$
$$
\lim_{x \rightarrow -\infty} \frac{x(x+1)}{(x+1)(x-1)} =
$$
$$
\lim_{x \rightarrow -\infty} \frac{x}{x-1} =
$$
$$
\lim_{x \rightarrow -\infty} \frac{x}{x} = 1.
$$
于是，$y$ 的水平渐近线只有 $y=1$ 这一条。
倾斜渐近线
由于 $y$ 在 $x$ 轴的正负半轴都有水平渐近线，因此 $y$ 不存在倾斜渐近线。
垂直渐近线
垂直渐近线一般在间断点处存在，而间断点一般是被定义区间包围的的无定义的点。
在本题中，通过【变形】后的式子 $\frac{x(x+1)}{(x+1)(x-1)}$ 可以看出，无定义的点有 $x=-1$ 和 $x=1$ 两个。但是，从【变形并精简】后的式子 $\frac{x}{x-1}$ 中，我们只能看到 $x=1$ 这一个无定义的点。虽然通过后面的计算可以发现，只有 $x=1$ 对应于一个垂直渐近线，但是通过【变形并精简】后的式子判断垂直渐近线确实有可能造成疏漏，从而导致错误。
因此，在寻找垂直渐近线的时候，只能对原式做【变形】，绝对不要进行任何“消去”或者“约去”等形式的【精简】，以免造成漏算。
假设 $x=1$ 处存在垂直渐近线，则：
$$
\lim_{x \rightarrow 1^{+}} \frac{1}{0^{+}} = +\infty;
$$
$$
\lim_{x \rightarrow 1^{-}} \frac{1}{0^{-}} = -\infty.
$$
于是，$x=1$ 处存在一条垂直渐近线。
假设 $x=-1$ 处存在垂直渐近线，则：
$$
\lim_{x \rightarrow -1} \frac{-1}{-2} = \frac{1}{2} \neq \infty.
$$
因此，$x=-1$ 处不存在垂直渐近线。
综上，$y$ 有两条渐近线。
综上可知，正确选项为 $C$.
EOF