2008 年研究生入学考试数学一解答题第 1 题解析(两种方法+手写作答)

题目

求极限 [latex]\lim_{x \rightarrow 0}\frac{[\sin x-\sin (\sin x)] \sin x}{x^{4}}[/latex]

解析

当题目中要求的是“极限”,而且出现了 [latex]x \rightarrow 0[/latex] 时就要考虑是不是要用到或者可以用到等价无穷小。

还需要考虑的可能用到的知识是洛必达法则。当 [latex]x \rightarrow 0[/latex] 时可能产生 [latex]\frac{0}{0}[/latex] 型的洛必达或者 [latex]\frac{\infty}{\infty}[/latex] 型的洛必达。而且,洛必达法则就是为求极限而生的,可以把对函数的求极限转换成对函数的导数求极限,从而可能化简原式。

方法一

本题考查的是等价无穷小,需要用到的两个等价无穷小如下(当 [latex]x \rightarrow 0[/latex] 时):

[latex]x \sim \sin x;[/latex]

[latex]x-\sin x \sim \frac{1}{6}x^{3}.[/latex]

于是有:

[latex]原式=\lim_{x \rightarrow 0} \frac{[\sin x-\sin (\sin x)]\sin x}{\sin^{4}x}=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin x-\sin(\sin x)}{\sin^{3} x}[/latex]

令 [latex]\sin x=t[/latex], 则有:

原式 [latex]=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{t-\sin(t)}{t^{3}}[/latex]

由于,当 [latex]x \rightarrow 0[/latex] 时,[latex]\sin x \rightarrow 0[/latex], 于是有 [latex]t \rightarrow 0[/latex], 因此根据常见的等价无穷小,有:

[latex]t-\sin t \sim \frac{1}{6}t^{3}[/latex]

因此有:

[latex]原式=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\frac{1}{6}t^{3}}{t^{3}}=\frac{1}{6}[/latex]

方法二

本题也可以结合使用等价无穷小与 [latex]\frac{0}{0}[/latex] 型洛必达等定理解出。

需要用到的等价无穷小有(当 [latex]x \rightarrow 0[/latex] 时):

[latex]x \sim \sin x;[/latex]

[latex]1-\cos x \sim \frac{1}{2}x^{2}[/latex]

需要用到的洛必达法则公式是:

[latex]\lim_{x \rightarrow x_{0}}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{f'(x)}{g'(x)}[/latex]

需要用到的求导规则是:

[latex](\sin x)’=\cos x;[/latex]

[latex](u-v)’=u’-v’;[/latex]

[latex]f'(x)=f'[g(x)]g'(x).[/latex]

解答思路如下:

由于,当 [latex]x \rightarrow 0[/latex] 时,[latex]\sin x \sim x[/latex], 于是有:

[latex]原式=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{[\sin x-\sin(\sin x)]\sin x}{x^{3}\sin x}=\lim_{x \rightarrow0}\frac{\sin x-\sin(\sin x)}{x^{3}} (1)[/latex]

由于,当 [latex]x \rightarrow 0[/latex] 时,有:

[latex]\sin x-\sin(\sin x) \rightarrow 0, 且存在导数;[/latex]
[latex]x^{3} \rightarrow 0, 且存在导数.[/latex]

因此,可以对 [latex] (1) [/latex] 式使用洛必达法则:

[latex]原式=\lim_{x\rightarrow0}\frac{[\sin x-\sin(\sin x)]’}{(x^{3})’}=\lim_{x\rightarrow0}\frac{\cos x-\cos(\sin x)\cos x}{3x^{2}}[/latex]

化简得:

[latex]原式=\lim_{x\rightarrow0}\frac{\cos[1-\cos(\sin x)]}{3x^{2}}[/latex]

由于,当 [latex]x \rightarrow 0[/latex] 时,[latex]\cos x \rightarrow 1[/latex], 因此,进一步化简得:

[latex]原式=\lim_{x\rightarrow0}\frac{1-\cos(\sin x)}{3x^{2}}[/latex]

使用等价无穷小进一步计算可得:

[latex]原式=\lim_{x\rightarrow0}\frac{\frac{1}{2}\sin^{2}x}{3x^{2}}=\frac{\frac{1}{2}}{3}=\frac{1}{6}[/latex]

方法一手写作答

方法二手写作答

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