2008 年研究生入学考试数学一解答题第 1 题解析(两种方法+手写作答)

题目

求极限 \lim_{x \rightarrow 0}\frac{[\sin x-\sin (\sin x)] \sin x}{x^{4}}

解析

当题目中要求的是“极限”,而且出现了 x \rightarrow 0 时就要考虑是不是要用到或者可以用到等价无穷小。

还需要考虑的可能用到的知识是洛必达法则。当 x \rightarrow 0 时可能产生 \frac{0}{0} 型的洛必达或者 \frac{\infty}{\infty} 型的洛必达。而且,洛必达法则就是为求极限而生的,可以把对函数的求极限转换成对函数的导数求极限,从而可能化简原式。

方法一

本题考查的是等价无穷小,需要用到的两个等价无穷小如下(当 x \rightarrow 0 时):

x \sim \sin x; x-\sin x \sim \frac{1}{6}x^{3}.

于是有:

原式=\lim_{x \rightarrow 0} \frac{[\sin x-\sin (\sin x)]\sin x}{\sin^{4}x}=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin x-\sin(\sin x)}{\sin^{3} x}

\sin x=t, 则有:

原式 =\lim_{x \rightarrow 0}\frac{t-\sin(t)}{t^{3}}

由于,当 x \rightarrow 0 时,\sin x \rightarrow 0, 于是有 t \rightarrow 0, 因此根据常见的等价无穷小,有:

t-\sin t \sim \frac{1}{6}t^{3}

因此有:

原式=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\frac{1}{6}t^{3}}{t^{3}}=\frac{1}{6}

方法二

本题也可以结合使用等价无穷小与 \frac{0}{0} 型洛必达等定理解出。

需要用到的等价无穷小有(当 x \rightarrow 0 时):

x \sim \sin x; 1-\cos x \sim \frac{1}{2}x^{2}

需要用到的洛必达法则公式是:

\lim_{x \rightarrow x_{0}}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{f'(x)}{g'(x)}

需要用到的求导规则是:

(\sin x)'=\cos x; (u-v)'=u'-v'; f'(x)=f'[g(x)]g'(x).

解答思路如下:

由于,当 x \rightarrow 0 时,\sin x \sim x, 于是有:

原式=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{[\sin x-\sin(\sin x)]\sin x}{x^{3}\sin x}=\lim_{x \rightarrow0}\frac{\sin x-\sin(\sin x)}{x^{3}} (1)

由于,当 x \rightarrow 0 时,有:

\sin x-\sin(\sin x) \rightarrow 0, 且存在导数;
x^{3} \rightarrow 0, 且存在导数.

因此,可以对 (1) 式使用洛必达法则:

原式=\lim_{x\rightarrow0}\frac{[\sin x-\sin(\sin x)]'}{(x^{3})'}=\lim_{x\rightarrow0}\frac{\cos x-\cos(\sin x)\cos x}{3x^{2}}

化简得:

原式=\lim_{x\rightarrow0}\frac{\cos[1-\cos(\sin x)]}{3x^{2}}

由于,当 x \rightarrow 0 时,\cos x \rightarrow 1, 因此,进一步化简得:

原式=\lim_{x\rightarrow0}\frac{1-\cos(\sin x)}{3x^{2}}

使用等价无穷小进一步计算可得:

原式=\lim_{x\rightarrow0}\frac{\frac{1}{2}\sin^{2}x}{3x^{2}}=\frac{\frac{1}{2}}{3}=\frac{1}{6}

方法一手写作答

方法二手写作答

EOF