题目
求极限 \lim_{x \rightarrow 0}\frac{[\sin x-\sin (\sin x)] \sin x}{x^{4}}
解析
当题目中要求的是“极限”，而且出现了 x \rightarrow 0 时就要考虑是不是要用到或者可以用到等价无穷小。
还需要考虑的可能用到的知识是洛必达法则。当 x \rightarrow 0 时可能产生 \frac{0}{0} 型的洛必达或者 \frac{\infty}{\infty} 型的洛必达。而且，洛必达法则就是为求极限而生的，可以把对函数的求极限转换成对函数的导数求极限，从而可能化简原式。
方法一
本题考查的是等价无穷小，需要用到的两个等价无穷小如下（当 x \rightarrow 0 时）：
x \sim \sin x; x-\sin x \sim \frac{1}{6}x^{3}.于是有：
原式=\lim_{x \rightarrow 0} \frac{[\sin x-\sin (\sin x)]\sin x}{\sin^{4}x}=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin x-\sin(\sin x)}{\sin^{3} x}令 \sin x=t, 则有：
原式 =\lim_{x \rightarrow 0}\frac{t-\sin(t)}{t^{3}}
由于，当 x \rightarrow 0 时，\sin x \rightarrow 0, 于是有 t \rightarrow 0, 因此根据常见的等价无穷小，有：
t-\sin t \sim \frac{1}{6}t^{3}因此有：
原式=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\frac{1}{6}t^{3}}{t^{3}}=\frac{1}{6}方法二
本题也可以结合使用等价无穷小与 \frac{0}{0} 型洛必达等定理解出。
需要用到的等价无穷小有（当 x \rightarrow 0 时）：
x \sim \sin x; 1-\cos x \sim \frac{1}{2}x^{2}需要用到的洛必达法则公式是：
\lim_{x \rightarrow x_{0}}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{f'(x)}{g'(x)}需要用到的求导规则是：
(\sin x)'=\cos x; (u-v)'=u'-v'; f'(x)=f'[g(x)]g'(x).解答思路如下：
由于，当 x \rightarrow 0 时，\sin x \sim x, 于是有：
原式=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{[\sin x-\sin(\sin x)]\sin x}{x^{3}\sin x}=\lim_{x \rightarrow0}\frac{\sin x-\sin(\sin x)}{x^{3}} (1)由于，当 x \rightarrow 0 时，有：
\sin x-\sin(\sin x) \rightarrow 0, 且存在导数;
x^{3} \rightarrow 0, 且存在导数.
因此，可以对 (1) 式使用洛必达法则：
原式=\lim_{x\rightarrow0}\frac{[\sin x-\sin(\sin x)]'}{(x^{3})'}=\lim_{x\rightarrow0}\frac{\cos x-\cos(\sin x)\cos x}{3x^{2}}化简得：
原式=\lim_{x\rightarrow0}\frac{\cos[1-\cos(\sin x)]}{3x^{2}}由于，当 x \rightarrow 0 时，\cos x \rightarrow 1, 因此，进一步化简得：
原式=\lim_{x\rightarrow0}\frac{1-\cos(\sin x)}{3x^{2}}使用等价无穷小进一步计算可得：
原式=\lim_{x\rightarrow0}\frac{\frac{1}{2}\sin^{2}x}{3x^{2}}=\frac{\frac{1}{2}}{3}=\frac{1}{6}方法一手写作答
方法二手写作答
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