2008 年研究生入学考试数学一解答题第 1 题解析（两种方法+手写作答）

题目

求极限 $\lim_{x \rightarrow 0}\frac{[\sin x-\sin (\sin x)] \sin x}{x^{4}}$

当题目中要求的是“极限”，而且出现了 $x \rightarrow 0$ 时就要考虑是不是要用到或者可以用到等价无穷小。

还需要考虑的可能用到的知识是洛必达法则。当 $x \rightarrow 0$ 时可能产生 $\frac{0}{0}$ 型的洛必达或者 $\frac{\infty}{\infty}$ 型的洛必达。而且，洛必达法则就是为求极限而生的，可以把对函数的求极限转换成对函数的导数求极限，从而可能化简原式。

本题考查的是等价无穷小，需要用到的两个等价无穷小如下（当 $x \rightarrow 0$ 时）：

x \sim \sin x;

x-\sin x \sim \frac{1}{6}x^{3}.

于是有：

原式=\lim_{x \rightarrow 0} \frac{[\sin x-\sin (\sin x)]\sin x}{\sin^{4}x}=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin x-\sin(\sin x)}{\sin^{3} x}

令 $\sin x=t$ , 则有：

原式 $=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{t-\sin(t)}{t^{3}}$

由于，当 $x \rightarrow 0$ 时， $\sin x \rightarrow 0$ , 于是有 $t \rightarrow 0$ , 因此根据常见的等价无穷小，有：

t-\sin t \sim \frac{1}{6}t^{3}

因此有：

原式=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\frac{1}{6}t^{3}}{t^{3}}=\frac{1}{6}

本题也可以结合使用等价无穷小与 $\frac{0}{0}$ 型洛必达等定理解出。

需要用到的等价无穷小有（当 $x \rightarrow 0$ 时）：

x \sim \sin x;

1-\cos x \sim \frac{1}{2}x^{2}

需要用到的洛必达法则公式是：

\lim_{x \rightarrow x_{0}}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{f'(x)}{g'(x)}

需要用到的求导规则是：

(\sin x)'=\cos x;

(u-v)'=u'-v';

f'(x)=f'[g(x)]g'(x).

解答思路如下：

由于，当 $x \rightarrow 0$ 时， $\sin x \sim x$ , 于是有：

原式=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{[\sin x-\sin(\sin x)]\sin x}{x^{3}\sin x}=\lim_{x \rightarrow0}\frac{\sin x-\sin(\sin x)}{x^{3}} (1)

由于，当 $x \rightarrow 0$ 时，有：

$\sin x-\sin(\sin x) \rightarrow 0, 且存在导数;$
$x^{3} \rightarrow 0, 且存在导数.$

因此，可以对 $(1)$ 式使用洛必达法则：

原式=\lim_{x\rightarrow0}\frac{[\sin x-\sin(\sin x)]'}{(x^{3})'}=\lim_{x\rightarrow0}\frac{\cos x-\cos(\sin x)\cos x}{3x^{2}}

化简得：

原式=\lim_{x\rightarrow0}\frac{\cos[1-\cos(\sin x)]}{3x^{2}}

由于，当 $x \rightarrow 0$ 时， $\cos x \rightarrow 1$ , 因此，进一步化简得：

原式=\lim_{x\rightarrow0}\frac{1-\cos(\sin x)}{3x^{2}}

使用等价无穷小进一步计算可得：

原式=\lim_{x\rightarrow0}\frac{\frac{1}{2}\sin^{2}x}{3x^{2}}=\frac{\frac{1}{2}}{3}=\frac{1}{6}

EOF