设函数 $y(x)$ 是微分方程 $y^{‘} – xy = \frac{1}{2 \sqrt{x}} e^{\frac{x^{2}}{2}}$ 满足条件 $y(1) = \sqrt{e}$ 的特解.
$(Ⅰ)$ 求 $y(x)$;
$(Ⅱ)$ 设平面区域 $D = { (x, y) | 1 \leqslant x \leqslant 2, 0 \leqslant y \leqslant y(x) }$, 求 $D$ 绕 $x$ 轴旋转所得旋转体的体积.
继续阅读“2019年考研数二第17题解析：一阶线性微分方程、旋转体的体积”求不定积分：
$$
\int \frac{3x + 6}{(x – 1)^{2} (x^{2} + x + 1)} \mathrm{d} x.
$$
已知函数 $f(x) = \left\{\begin{matrix}
x^{2x}, x > 0\\
xe^{x} + 1, x \leqslant 0,
\end{matrix}\right.$ 求 $f^{‘}(x)$, 并求 $f(x)$ 的极值.
已知 $a$ 是常数，且矩阵 $A = \begin{bmatrix}
1 & 2 & a\\
1 & 3 & 0\\
2 & 7 & -a
\end{bmatrix}$ 可经初等列变换化为矩阵 $B = \begin{bmatrix}
1 & a & 2\\
0 & 1 & 1\\
-1 & 1 & 1
\end{bmatrix}$.
$(Ⅰ)$ 求 $a$;
$(Ⅱ)$ 求满足 $AP = B$ 的可逆矩阵 $P$.
继续阅读“2018年考研数二第23题解析：矩阵的秩、非齐次线性方程组、可逆矩阵”设实二次型 $f(x_{1}, x_{2}, x_{3}) =$ $(x_{1} – x_{2} + x_{3})^{2} +$ $(x_{2} + x_{3})^{2} +$ $(x_{1} + a x_{3})^{2}$, 其中 $a$ 是参数.
$(Ⅰ)$ 求 $f(x_{1}, x_{2}, x_{3}) = 0$ 的解;
$(Ⅱ)$ 求 $f(x_{1}, x_{2}, x_{3})$ 的规范型.
继续阅读“2018年考研数二第22题解析：二次型、齐次线性方程组、二次型的规范型”设数列 ${ x_{n} }$ 满足：$x_{1} > 0$, $x_{n} e^{x_{n+1}} = e^{x_{n}} – 1$ $(n = 1, 2, 3, \cdots)$. 证明 ${ x_{n} }$ 收敛，并求 $\lim_{n \rightarrow \infty} x_{n}$.
继续阅读“2018年考研数二第21题解析：数列极限、数学归纳法、拉格朗日中值定理”已知曲线 $L: y = \frac{4}{9} x^{2}$ $(x \geqslant 0)$, 点 $O(0, 0)$, 点 $A(0, 1)$. 设 $P$ 是 $L$ 上的动点, $S$ 是直线 $OA$ 与直线 $AP$ 及曲线 $L$ 所围图形的面积. 若 $P$ 运动到点 $(3, 4)$ 时沿 $x$ 轴正向的速度是 $4$, 求此时 $S$ 关于时间 $t$ 的变化率.
继续阅读“2018年考研数二第20题解析：积分、微分、直线方程”将长为 $2 \mathrm{m}$ 的铁丝分成三段，依次围成圆、正方形与正三角形. 三个图形的面积之和是否存在最小值？若存在，求出最小值.
继续阅读“2018年考研数二第19题解析：条件极值、拉格朗日乘数法”已知常数 $k \geqslant \ln 2 – 1$. 证明：$(x-1)(x – \ln^{2} x + 2k \ln x – 1) \geqslant 0$
继续阅读“2018年考研数二第18题解析：导数、单调性”设平面区域 $D$ 由曲线 $\left\{\begin{matrix}
x = t – \sin t;\\
y = 1 – \cos t
\end{matrix}\right.$ $(0 \leqslant t \leqslant 2 \pi)$ 与 $x$ 轴围成，计算二重积分 $\iint_{D} (x + 2y) \mathrm{d} x \mathrm{d} y$.
已知连续函数 $f(x)$ 满足：
$$
\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t + \int_{0}^{x} t f(x – t) \mathrm{d} t = ax^{2}.
$$
$(Ⅰ)$ 求 $f(x)$
$(Ⅱ)$ 若 $f(x)$ 在区间 $[0, 1]$ 上的平均值为 $1$, 求 $a$ 的值.
继续阅读“2018年考研数二第16题解析：变上限积分、一阶线性微分方程、积分中值定理”设二次型 $f(x_{1}, x_{2}, x_{3}) =$ $2x_{1}^{2} -$ $x_{2}^{2} +$ $ax_{3}^{2} +$ $2x_{1}x_{2} -$ $8x_{1}x_{3} +$ $2x_{2}x_{3}$ 在正交变换 $x = Qy$ 下的标准型为 $\lambda_{1}y_{1}^{2} +$ $\lambda_{2} y_{2}^{2}$, 求 $a$ 的值及一个正交矩阵 $Q$.
继续阅读“2017年考研数二第23题解析：二次型、标准型、特征值与特征向量”设 $3$ 阶矩阵 $A = (\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3})$ 有 $3$ 个不同的特征值，且 $\alpha_{3} = \alpha_{1} + 2 \alpha_{2}$.
$(Ⅰ)$ 证明 $r(A) = 2$;
$(Ⅱ)$ 若 $\beta = \alpha_{1} + \alpha_{2} + \alpha_{3}$, 求方程组 $Ax = \beta$ 的通解.
继续阅读“2017年考研数二第22题解析：特征值、基础解系、非齐次线性方程组”设 $y(x)$ 是区间 $(0, \frac{3}{2})$ 内的可导函数，且 $y(1) = 0$. 点 $P$ 是曲线 $l: y = y(x)$ 上的任意一点，$l$ 在点 $P$ 处的切线与 $y$ 轴相交于点 $(0, Y_{p})$, 法线与 $x$ 轴交于点 $(X_{p}, 0)$. 若 $X_{p} = Y_{p}$, 求 $l$ 上点的坐标 $(x, y)$ 满足的方程。
继续阅读“2017年考研数二第21题解析：不定积分、分离变量、直线方程”