一、题目
设函数 $f(x)$ $=$ $\int_{0}^{x^{2}}$ $\ln(2+t)$ $dt$, 则 $f'(x)$ 的零点个数（）
( A ) $0$.
( B ) $1$.
( C ) $2$.
( D ) $3$.
二、解析
本题可以使用积分和导数的相关定理解出。
涉及到的积分知识如下：
(1) 定积分基本性质
$\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $dx$ $=$ $\int_{a}^{b}$ $f(t)dt$;
(2) 变上限积分函数求导
- 若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，则 $F(x)$ $=$ $\int_{a}^{x}$ $f(t)$ $dt$ 在 $[a,b]$ 上可导，且 $F'(x)$ $=$ $f(x)$.
- 若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，$\phi(x)$ 在 $[a,b]$ 上可导，设$F(x)$ $=$ $\int_{a}^{\phi(x)}$ $f(t)$ $dt$, 则：
$F'(x)$ $=$ $f[\phi(x)]$ $\cdot$ $\phi'(x)$.
涉及到的求导知识如下：
$(x^{a})’$ $=$ $ax^{a-1}$;
此外，我们需要知道的是，“函数零点”指的是 $f(x)$ $=$ $0$ 时，对应的自变量 $x$ 的数值，“函数零点” 不是一个点，而是一个数值。
解题思路如下：
根据变上限积分函数求导法则，有：
$f'(x)$ $=$ $\ln(2+x^{2})$ $\cdot$ $(x^{2})’$ $=$ $2$ $x$ $\ln(2+x^{2})$.
则要求函数 $f'(x)$ 的零点的个数，就是求 $2$ $x$ $\ln(2+x^{2})$ $=$ $0$ 的解的个数。
要使 $2$ $x$ $\ln(2+x^{2})$ $=$ $0$ 成立，则有以下三种情况（分情况讨论时要注意“不重不漏”）：
(1) $2$ $x$ $=$ $0$ 且 $\ln(2+x^{2})$ $\neq$ $0$
此时解出 $x$ $=$ $0$.
(2) $2$ $x$ $\neq$ $0$ 且 $\ln(2+x^{2})$ $=$ $0$.
无解。
由于 $1$ $+$ $x^{2}$ $\geq$ $2$ 始终成立，而且当 $x$ $=$ $1$ 时，$\ln(x)$ $=$ $0$, 当 $x$ $>$ $1$ 时，$\ln(x)$ $>$ $0$.
所以，$\ln(2+x^{2})$ $>$ $0$ 始终成立，与 $x$ 轴没有交点。
(3) $2$ $x$ $=$ $0$ 且 $\ln(2+x^{2})$ $=$ $0$
$2$ $x$ $=$ $\ln(2+x^{2})$ $=$ $0$ $\Rightarrow$ 无解.
综上可知，当 $2$ $x$ $\ln(2+x^{2})$ $=$ $0$ 时，有：
$x$ $=$ $0$.
因此，只有一个零点，答案是：$B$.
EOF