一、题目
曲线 $\sin (xy)$ $+$ $\ln(y-x)$ $=x$ 在点 $(0,1)$ 处的切线方程为__.
本题需要用到求导法则和切线方程公式的相关知识。
需要用到的求导公式有：
$(\sin x)’$ $=$ $\cos x$;
$(\ln x)’$ $=$ $\frac{1}{x}$;
$(ab)’$ $=$ $a’b$ $+$ $ab’$;
$f'(x)$ $=$ $f'[\phi(x)]$ $\cdot$ $\phi'(x)$.
求导过程中另外需要注意的两点如下：
- 对 $x$ 求导，则包括 $x$ 和其他常量都要按照求导公式进行计算，而除了 $x$ 之外的其他变量则只加上求导符号 (例如: $’$) 即可，不进行求导计算；
- 等式两边对同一变量求导后，等式仍然成立。因为求导前是等式，求导规则也一致，则求导后等式两边仍然恒等。
切线方程的计算公式如下：
$y$ $-$ $f(x_{0})$ $=$ $f'(x_{0})$ $(x-x_{0})$.
解答思路如下：
由于切线方程的计算公式中包含导数 $f'(x)$，因此，首先需要计算出导数。原式两边同时对 $x$ 求导可以产生导数 $y’$：
$[\sin(xy)$ $+$ $\ln(y-x)]’$ $=$ $(x)’$ $\Rightarrow$ $\cos(xy)$ $(x’y+xy’)$ $+$ $\frac{1}{y-x}$ $(y-x)’$ $=$ $1$ $\Rightarrow$ $\cos(xy)$ $(y$ $+$ $xy’$ $)$ $+$ $\frac{1}{y-x}$ $(y’$ $-$ $1$ $)$ $=$ $1$.
要求的是曲线在点 $(0,1)$ 处的切线方程，因此，我们把 $x$ $=$ $0$; $y$ $=$ $1$带入上面的到的式子中，得：
$1$ $\cdot$ $1$ $+$ $1$ $\cdot$ $(y’$ $-$ $1$ $)$ $=$ $1$ $\Rightarrow$ $1$ $+$ $y’$ $-$ $1$ $=$ $1$ $\Rightarrow$ $y’$ $=$ $1$.
即：
$y'(0)$ $=$ $1$.
将上述结果带入切线方程求导公式得：
$y$ $-$ $1$ $=$ $1$ $\cdot$ $($ $x$ $-$ $0$ $)$ $\Rightarrow$ $y$ $=$ $x$ $+$ $1$.
综上可知，本题得答案是：$y$ $=$ $x$ $+$ $1$.
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