考研数学 – 第 95 页

问题

根据零向量的定义，以下哪个选项是三维零向量？

选项

[A]. $(0, 0, 0)^{\top}$

[B]. $\begin{pmatrix} & & 0\\ & 0 & \\ 0 & & \end{pmatrix}$

[C]. $\begin{pmatrix} 0 & & \\ & 0 & \\ & & 0 \end{pmatrix}$

[D]. $(0, 0, 1)^{\top}$

答案

$n$ 个分量全为零的 $n$ 维向量被称为 $n$ 维零向量：
$\textcolor{orange}{(0, 0, 0)^{\top}}$

或：
$\textcolor{cyan}{(0, 0, 0)}$.

问题

已知，有常数 $\textcolor{cyan}{k}$ 和向量 $\textcolor{orange}{\alpha}$ $\textcolor{orange}{=}$ $\textcolor{orange}{(a_{1}, a_{2}, a_{3})^{\top}}$, 则 $\textcolor{cyan}{k}$ $\textcolor{orange}{\alpha}$ $=$ $?$

选项

[A]. $k \alpha$ $=$ $(ka_{1}, ka_{2}, ka_{3})^{\top}$

[B]. $k \alpha$ $=$ $(\frac{1}{k} a_{1}, \frac{1}{k} a_{2}, \frac{1}{k} a_{3})^{\top}$

[C]. $k \alpha$ $=$ $(k^{3} a_{1}, k^{3} a_{2}, k^{3} a_{3})^{\top}$

[D]. $k \alpha$ $=$ $(ka_{1}, a_{2}, a_{3})^{\top}$

答案

$\textcolor{cyan}{k} \alpha$ $=$ $(\textcolor{cyan}{k} a_{1}, \textcolor{cyan}{k} a_{2}, \textcolor{cyan}{k} a_{3})^{\top}$

向量的加法运算（C013）

问题

已知，有向量 $\textcolor{orange}{\alpha}$ $\textcolor{orange}{=}$ $\textcolor{orange}{(a_{1}, a_{2}, a_{3})^{\top}}$, $\textcolor{cyan}{\beta}$ $\textcolor{cyan}{=}$ $\textcolor{cyan}{(b_{1}, b_{2}, b_{3})^{\top}}$, 则 $\textcolor{orange}{\alpha}$ $\textcolor{red}{+}$ $\textcolor{cyan}{\beta}$ $=$ $?$

选项

[A]. $\alpha$ $+$ $\beta$ $=$ $a_{1}$ $\times$ $b_{1}$ $+$ $a_{2}$ $\times$ $b_{2}$ $+$ $a_{3}$ $\times$ $b_{3}$

[B]. $\alpha$ $+$ $\beta$ $=$ $(a_{1}, a_{2}, a_{3}, b_{1}, b_{2}, b_{3})^{\top}$

[C]. $\alpha$ $+$ $\beta$ $=$ $(a_{1} + b_{1}, a_{2} + b_{2}, a_{3} + b_{3})$

[D]. $\alpha$ $+$ $\beta$ $=$ $(a_{1} + b_{1}, a_{2} + b_{2}, a_{3} + b_{3})^{\top}$

答案

相加的向量必须同为行向量或者列向量，之后将对应位置的元素相加，即可得新向量：
$\textcolor{orange}{\alpha}$ $\textcolor{yellow}{+}$ $\textcolor{cyan}{\beta}$ $=$ $\textcolor{yellow}{(} \textcolor{orange}{a_{1}} \textcolor{yellow}{+} \textcolor{cyan}{b_{1}}, \textcolor{orange}{a_{2}} \textcolor{yellow}{+} \textcolor{cyan}{b_{2}}, \textcolor{orange}{a_{3}} \textcolor{yellow}{+} \textcolor{cyan}{b_{3}} \textcolor{yellow}{)}^{\textcolor{red}{\top}}$

向量相等的判断（C013）

问题

以下选项中，哪个选项中的两个向量是相等的？

选项

[A]. $\begin{pmatrix} 1\\ 2\\ 3 \end{pmatrix}$ 和 $\begin{pmatrix} 1\\ 2\\ 3 \end{pmatrix}^{\top}$

[B]. $\begin{pmatrix} 1\\ 2\\ 3 \end{pmatrix}$ 和 $(3, 2, 1)^{\top}$

[C]. $\begin{pmatrix} 1\\ 2\\ 3 \end{pmatrix}$ 和 $(1, 2, 3)^{\top}$

[D]. $(1, 2, 3)$ 和 $(3, 2, 1)$

答案

相等的向量必须同为行向量或者同为列向量，且对应的元素必须全部相等：
$\textcolor{orange}{\begin{pmatrix} 1\\ 2\\ 3 \end{pmatrix}}$ 和 $\textcolor{cyan}{(1, 2, 3)}^{\textcolor{red}{\top}}$

$F(x)$ $=$ $\ln(x + \sqrt{1 + x^{2}})$ 是奇函数还是偶函数？

一、前言

在本文中，荒原之梦网将使用奇函数的定义完成对 $\textcolor{orange}{F(x)}$ $\textcolor{orange}{=}$ $\textcolor{orange}{\ln(x + \sqrt{1 + x^{2}})}$ 是奇函数还是偶函数的判断。

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列向量的形式（C013）

问题

根据矩阵向量的定义，已知一个列向量由 $\textcolor{orange}{a}$, $\textcolor{orange}{b}$, $\textcolor{orange}{c}$ 这三个分量组成，则下列选项中，正确表示了该列向量的选项是哪个？

选项

[A]. $\begin{pmatrix} a & b & c \end{pmatrix}$

[B]. $\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}^{\top}$

[C]. $\begin{pmatrix} a & b & c \end{pmatrix}^{\top}$

[D]. $\begin{pmatrix} & & a\\ & b & \\ c & & \end{pmatrix}$

答案

列向量的表示形式（写法）：
$\textcolor{orange}{\begin{pmatrix} a & b & c \end{pmatrix}}^{\textcolor{red}{\top}}$

或者：
$\textcolor{cyan}{\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}}$

行向量的形式（C013）

问题

根据矩阵向量的定义，已知一个行向量由 $\textcolor{orange}{a}$, $\textcolor{orange}{b}$, $\textcolor{orange}{c}$ 这三个分量组成，则下列选项中，正确表示了该行向量的选项是哪个？

选项

[A]. $\begin{pmatrix} & & a\\ & b & \\ c & & \end{pmatrix}$

[B]. $\begin{pmatrix} a & & \\ & b & \\ & & c \end{pmatrix}$

[C]. $\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}$

[D]. $\begin{pmatrix} a & b & c \end{pmatrix}$

答案

行向量的表示形式（写法）：
$\textcolor{orange}{\begin{pmatrix} a & b & c \end{pmatrix}}$

或者：
$\textcolor{cyan}{\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}}^{\textcolor{red}{\top}}$

矩阵向量的分类（C013）

问题

根据矩阵向量的定义，矩阵中的向量可以被分成（）和（）两类？

选项

[A]. 主对角线向量、行向量

[B]. 主对角线向量、列向量

[C]. 行向量、列向量

[D]. 主对角线向量、副对角线向量

答案

矩阵中的向量可以被分成行向量和列向量两种

矩阵等价的充要条件（C012）

问题

已知，矩阵 $\textcolor{orange}{\boldsymbol{A}}$ 与 $\textcolor{orange}{\boldsymbol{B}}$ 互为等价矩阵，则以下关于这两个矩阵等价的充要条件中，正确的是哪个？

选项

[A]. 同型

[B]. 同型且秩相等

[C]. 可以不同型，但需要秩相等

[D]. 秩相等

答案

矩阵 $\textcolor{orange}{\boldsymbol{A}}$ 与 $\textcolor{orange}{\boldsymbol{B}}$ 互为等价矩阵 $\textcolor{red}{\Leftrightarrow}$ 矩阵 $\textcolor{orange}{\boldsymbol{A}}$ 与 $\textcolor{orange}{\boldsymbol{B}}$ 同型且秩相等

等价矩阵的传递性（C012）

问题

已知，$\textcolor{cyan}{\boldsymbol{A}}$ $\textcolor{cyan}{\cong}$ $\textcolor{cyan}{\boldsymbol{B}}$ 且 $\textcolor{cyan}{\boldsymbol{B}}$ $\textcolor{cyan}{\cong}$ $\textcolor{cyan}{\boldsymbol{C}}$.
则，根据矩阵等价的传递性，矩阵 $\textcolor{orange}{\boldsymbol{A}}$ 与 $\textcolor{orange}{\boldsymbol{C}}$ 具有怎样的关系？

选项

[A]. $\boldsymbol{A}$ $\cong$ $\boldsymbol{C^{\top}}$

[B]. $\boldsymbol{A}$ $\ncong$ $\boldsymbol{C}$

[C]. $\boldsymbol{A}$ $\cong$ $\boldsymbol{C}$

[D]. $\boldsymbol{A}$ $\cong$ $\boldsymbol{C^{-1}}$

答案

若 $\textcolor{cyan}{\boldsymbol{A}}$ $\textcolor{cyan}{\cong}$ $\textcolor{cyan}{\boldsymbol{B}}$ 且 $\textcolor{cyan}{\boldsymbol{B}}$ $\textcolor{cyan}{\cong}$ $\textcolor{cyan}{\boldsymbol{C}}$, 则：
$\textcolor{orange}{\boldsymbol{A}}$ $\textcolor{red}{\cong}$ $\textcolor{orange}{\boldsymbol{C}}$

等价矩阵的对称性（C012）

问题

已知， $\textcolor{orange}{\boldsymbol{A}}$ $\textcolor{orange}{\cong}$ $\textcolor{orange}{\boldsymbol{B}}$, 则，根据矩阵等价的对称性，以下选项中，正确的是哪个？

选项

[A]. $\boldsymbol{A}$ $\cong$ $\boldsymbol{B}$ $\Leftrightarrow$ $\boldsymbol{A^{\top}}$ $\cong$ $\boldsymbol{B^{\top}}$

[B]. $\boldsymbol{A}$ $\cong$ $\boldsymbol{B}$ $\nLeftrightarrow$ $\boldsymbol{B}$ $\cong$ $\boldsymbol{A}$

[C]. $\boldsymbol{A}$ $\cong$ $\boldsymbol{B}$ $\Leftrightarrow$ $\boldsymbol{B}$ $\cong$ $\boldsymbol{A}$

[D]. $\boldsymbol{A}$ $\cong$ $\boldsymbol{B}$ $\Leftrightarrow$ $\boldsymbol{A^{-1}}$ $\cong$ $\boldsymbol{B^{-1}}$

答案

矩阵等价的对称性：
$\textcolor{orange}{\boldsymbol{A}}$ $\textcolor{green}{\cong}$ $\textcolor{cyan}{\boldsymbol{B}}$ $\textcolor{red}{\Leftrightarrow}$ $\textcolor{cyan}{\boldsymbol{B}}$ $\textcolor{green}{\cong}$ $\textcolor{orange}{\boldsymbol{A}}$

等价矩阵的反身性（C012）

问题

已知，有矩阵 $\textcolor{orange}{\boldsymbol{A}}$, 则，根据矩阵等价的反身性，以下选项中，正确的是哪个？

选项

[A]. $\boldsymbol{A}$ $\cong$ $\boldsymbol{A}$

[B]. $\boldsymbol{A}$ $\cong$ $-$ $\boldsymbol{A}$

[C]. $\boldsymbol{A}$ $\cong$ $\boldsymbol{A^{-1}}$

[D]. $\boldsymbol{A}$ $\cong$ $\boldsymbol{A^{\top}}$

答案

等价矩阵的反身性指的是，一个矩阵和其自己一定等价：
$\textcolor{orange}{\boldsymbol{A}}$ $\textcolor{cyan}{\cong}$ $\textcolor{orange}{\boldsymbol{A}}$

等价矩阵的定义（C012）

问题

矩阵 $\boldsymbol{A}$ 经过（）次初等变换化为矩阵 $\boldsymbol{B}$, 则称矩阵 $\boldsymbol{A}$ 与矩阵 $\boldsymbol{B}$ 等价？

选项

[A]. 无数次

[B]. 至多 2 两次

[C]. 1 次

[D]. 有限次

答案

矩阵 $\boldsymbol{A}$ 经过有限次初等变换化为矩阵 $\boldsymbol{B}$, 则称矩阵 $\boldsymbol{A}$ 与矩阵 $\boldsymbol{B}$ 等价

矩阵等价的符号表示（C012）

问题

已知，矩阵 $\textcolor{orange}{\boldsymbol{A}}$ 与 $\textcolor{orange}{\boldsymbol{B}}$ 是等价矩阵，则以下对这种等价关系的符号表示，正确的是哪个？

选项

[A]. $\boldsymbol{A}$ $\sim$ $\boldsymbol{B}$

[B]. $\boldsymbol{A}$ $=$ $\boldsymbol{B}$

[C]. $\boldsymbol{A}$ $\cong$ $\boldsymbol{B}$

[D]. $\boldsymbol{A}$ $\otimes$ $\boldsymbol{B}$

答案

$\textcolor{orange}{\boldsymbol{A}}$ $\textcolor{cyan}{\cong}$ $\textcolor{orange}{\boldsymbol{B}}$

$r(\boldsymbol{A})$ $<$ $n$ $-$ $1$ 时 $r(\boldsymbol{A^{*}})$ 的值是多少？（C012）

问题

已知，矩阵 $\boldsymbol{A}$ 是一个 $n$ 阶方阵，且 $n$ $\geqslant$ $2$.
则当 $\textcolor{cyan}{r(\boldsymbol{A})}$ $\textcolor{cyan}{=}$ $\textcolor{cyan}{n}$ $\textcolor{cyan}{-}$ $\textcolor{cyan}{1}$ 时，$\textcolor{orange}{r(\boldsymbol{A^{*}})}$ $\textcolor{orange}{=}$ $\textcolor{orange}{?}$

选项

[A]. $r(\boldsymbol{A^{*}})$ $=$ $n$

[B]. $r(\boldsymbol{A^{*}})$ $=$ $1$

[C]. $r(\boldsymbol{A^{*}})$ $=$ $n$ $-$ $1$

[D]. $r(\boldsymbol{A^{*}})$ $=$ $0$

答案

$\textcolor{cyan}{r(\boldsymbol{A})}$ $\textcolor{cyan}{=}$ $\textcolor{cyan}{n}$ $\textcolor{cyan}{-}$ $\textcolor{cyan}{1}$ $\Rightarrow$ $\textcolor{orange}{r(\boldsymbol{A^{*}})}$ $=$ $\textcolor{red}{0}$