题目
设 $a_{n}>0$ $(n=1,2,…)$, $S_{n}=a_{1} + a_{2} + \cdot \cdot \cdot + a_{n}$, 则数列 $\{S_{n}\}$ 有界是数列 $\{a_{n}\}$ 收敛的 $?$
$$
A. 充分必要条件
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B. 充分非必要条件
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C. 必要非充分条件
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D. 既非充分也非必要条件
$$
解析
本题考查收敛数列的性质，有关本部分知识可以参考：
首先，读题一定要【逐个字符】去读并【标出重点】。
例如，在本题中，题目中给出的 $a_{n}>0$ 就是一个十分重要的条件，这个条件告诉我们数列 $\{a_{n}\}$ 的每一项都是大于零的，如果没有这个条件，那么数列 $\{a_{n}\}$ 就可能存在大于零、小于零或者等于零的项。
根据【前充分后必要】规则，先看充分性：
如果数列 $\{S_{n}\}$ 有界，那么就表明，当 $n \rightarrow +\infty$ 时，$\{S_{n}\}$ 的数值不再发生改变，也就是说，这个时候加上来的 $a_{n}$ 都趋于零。
P.S: 如果 $a_{n}$ 可以为负数，则当数列 $\{a_{n}\}$ 既包含极限为正数的子列，也包含极限为负数的子列时，通过正负相加的抵消作用，也可能使 $S_{n}$ 的数值存在一个极限，但本题中说了 $a_{n}>0$, 因此，这种情况被排除。这里可以引申出一个检查题目是否解答正确的方法：看一看解题过程中有没有没用到的已知条件——考研题目通常不会给出多余的条件，如果解答过程中没有全部使用到这些已知条件，那么，这个解答过程以及由此得出的结论极有可能存在问题。
即：
$$
\lim_{n \rightarrow +\infty} a_{n} = 0.
$$
于是可知，数列 $\{a_{n}\}$ 是收敛数列（收敛于零），充分性成立。
接着来看必要性：
如果 $\{a_{n}\}$ 收敛，则根据前提条件，$\{a_{n}\}$ 可能收敛于零或者收敛于某一个大于零的正数。
如果 $\{a_{n}\}$ 收敛于零，则可知 $\{S_{n}\}$ 也会收敛于某一个极限，因此，此时的 $\{S_{n}\}$ 是有界的。但是，如果 $\{a_{n}\}$ 收敛于某一个大于零的正数，那么 $\{S_{n}\}$ 将始终增加，因此，此时的 $\{S_{n}\}$ 是无界的。
于是可知，必要性不满足（只要存在一种不满足的情况就是不满足）。
综上可知，正确选项为 $B$.
EOF