2012年考研数二第03题解析

题目

设 $a_{n} > 0$ $(n = 1, 2, \dots)$ , $S_{n} = a_{1} + a_{2} + \cdot \cdot \cdot + a_{n}$ , 则数列 ${S_{n}}$ 有界是数列 ${a_{n}}$ 收敛的 $?$

$A . 充分必要条件$

$B . 充分非必要条件$

$C . 必要非充分条件$

$D . 既非充分也非必要条件$

解析

本题考查收敛数列的性质，有关本部分知识可以参考：

《[高数]收敛数列与发散数列》

首先，读题一定要【逐个字符】去读并【标出重点】。

例如，在本题中，题目中给出的 $a_{n} > 0$ 就是一个十分重要的条件，这个条件告诉我们数列 ${a_{n}}$ 的每一项都是大于零的，如果没有这个条件，那么数列 ${a_{n}}$ 就可能存在大于零、小于零或者等于零的项。

根据【前充分后必要】规则，先看充分性：

如果数列 ${S_{n}}$ 有界，那么就表明，当 $n \to + \infty$ 时， ${S_{n}}$ 的数值不再发生改变，也就是说，这个时候加上来的 $a_{n}$ 都趋于零。

P.S: 如果 $a_{n}$ 可以为负数，则当数列 ${a_{n}}$ 既包含极限为正数的子列，也包含极限为负数的子列时，通过正负相加的抵消作用，也可能使 $S_{n}$ 的数值存在一个极限，但本题中说了 $a_{n} > 0$ , 因此，这种情况被排除。这里可以引申出一个检查题目是否解答正确的方法：看一看解题过程中有没有没用到的已知条件——考研题目通常不会给出多余的条件，如果解答过程中没有全部使用到这些已知条件，那么，这个解答过程以及由此得出的结论极有可能存在问题。

即：

$lim_{n \to + \infty} a_{n} = 0.$

于是可知，数列 ${a_{n}}$ 是收敛数列（收敛于零），充分性成立。

接着来看必要性：

如果 ${a_{n}}$ 收敛，则根据前提条件， ${a_{n}}$ 可能收敛于零或者收敛于某一个大于零的正数。

如果 ${a_{n}}$ 收敛于零，则可知 ${S_{n}}$ 也会收敛于某一个极限，因此，此时的 ${S_{n}}$ 是有界的。但是，如果 ${a_{n}}$ 收敛于某一个大于零的正数，那么 ${S_{n}}$ 将始终增加，因此，此时的 ${S_{n}}$ 是无界的。

于是可知，必要性不满足（只要存在一种不满足的情况就是不满足）。

综上可知，正确选项为 $B$ .

EOF

题目

解析

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