题目
设数列 $x_{n}$ 收敛，则 $?$
$$A. 当 \lim_{n \rightarrow \infty} \sin x_{n} = 0 时，\lim_{n \rightarrow \infty} x_{n} = 0$$
$$B. 当 \lim_{n \rightarrow \infty} (x_{n} + \sqrt{|x_{n}|}) = 0 时，\lim_{n \rightarrow \infty} = 0$$
$$C. 当\lim_{n \rightarrow \infty} (x_{n} + x_{n}^{2}) = 0 时，\lim_{n \rightarrow \infty} x_{n} =0$$
$$D. 当 \lim_{n \rightarrow \infty} (x_{n} + \sin x_{n}) = 0 时，\lim_{n \rightarrow \infty} x_{n} = 0$$
解析
注意：“收敛“不一定收敛于 $0$, 收敛可能收敛于任意一个实数。
$A$ 项：
$x = k \pi (k = 0, 1, 2, 3 …)$ 时，都有 $\sin x = 0$, 因此，$A$ 项错。
$B$ 项：
当 $x = -1$ 时，有 $x + \sqrt{|x|} = 0$, 因此，$B$ 项错。
$C$ 项：
当 $x=-1$ 时，有 $x + x^{2} = 0$, 因此，$C$ 项错。
$D$ 项：
当 $x + \sin x = 0$ 时，必有：
$$
x = – \sin x.
$$
若要 $x \neq 0$,
则 $y = \sin x$ 与 $y = x$ 的图像必须有除了 $(0,0)$ 之外的其他交点，但是 $y = \sin x$ 与 $y = x$ 的图像只有 $(0,0)$ 这一个交点，即必须有 $x=0$, 则 $x + \sin x = 0$ 才会成立。因此，$D$ 项正确。
综上可知，正确选项为 $D$.
EOF