2017年考研数二第03题解析

题目

设数列 $x_{n}$ 收敛,则 $?$

$$A. 当 \lim_{n \rightarrow \infty} \sin x_{n} = 0 时,\lim_{n \rightarrow \infty} x_{n} = 0$$

$$B. 当 \lim_{n \rightarrow \infty} (x_{n} + \sqrt{|x_{n}|}) = 0 时,\lim_{n \rightarrow \infty} = 0$$

$$C. 当\lim_{n \rightarrow \infty} (x_{n} + x_{n}^{2}) = 0 时,\lim_{n \rightarrow \infty} x_{n} =0$$

$$D. 当 \lim_{n \rightarrow \infty} (x_{n} + \sin x_{n}) = 0 时,\lim_{n \rightarrow \infty} x_{n} = 0$$

解析

注意:“收敛“不一定收敛于 $0$, 收敛可能收敛于任意一个实数。

$A$ 项:

$x = k \pi (k = 0, 1, 2, 3 …)$ 时,都有 $\sin x = 0$, 因此,$A$ 项错。

$B$ 项:

当 $x = -1$ 时,有 $x + \sqrt{|x|} = 0$, 因此,$B$ 项错。

$C$ 项:

当 $x=-1$ 时,有 $x + x^{2} = 0$, 因此,$C$ 项错。

$D$ 项:

当 $x + \sin x = 0$ 时,必有:

$$
x = – \sin x.
$$

若要 $x \neq 0$,

则 $y = \sin x$ 与 $y = x$ 的图像必须有除了 $(0,0)$ 之外的其他交点,但是 $y = \sin x$ 与 $y = x$ 的图像只有 $(0,0)$ 这一个交点,即必须有 $x=0$, 则 $x + \sin x = 0$ 才会成立。因此,$D$ 项正确。

综上可知,正确选项为 $D$.

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