2014年考研数二第01题解析

题目

当 $x \rightarrow 0^{+}$ 时,若 $\ln ^{a} (1+2a)$, $(1-\cos x)^{\frac{1}{a}}$ 均是比 $x$ 高阶的无穷小,则 $a$ 的取值范围是 $?$

$$
A. (2, + \infty)
$$

$$
B. (1, 2)
$$

$$
C. (\frac{1}{2}, 1)
$$

$$
D. (0,\frac{1}{2})
$$

解析

$$
\ln (1+2x) \sim 2x \Rightarrow
$$

$$
\ln^{a} (1+2x) \sim (2x)^{a}.
$$

$$
(1 – \cos x) \sim \frac{1}{2} x^{2} \Rightarrow
$$

$$
(1 – \cos x)^{\frac{1}{a}} \sim \frac{1}{2} x^{\frac{2}{a}}.
$$

为了使上面两个式子成为比 $x$ 高阶的无穷小,则必须有:

$$
a>1;
$$

$$
\frac{2}{a} > 1 \Rightarrow a < 2.
$$

于是,$a$ 的取值范围是:

$$
2 > a > 1.
$$

综上可知,正确选项为 $B$.

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