2014年考研数二第03题解析

题目

设函数 $f(x)$ 具有二阶导数,$g(x) = f(0)(1-x) + f(1)x$, 则在区间 $[0, 1]$ 上 $?$

$$
A. 当 f^{‘}(x) \geqslant 0 时,f(x) \geqslant g(x)
$$

$$
B.当 f^{‘}(x) \geqslant 0 时,f(x) \leqslant g(x)
$$

$$
C. 当 f^{”}(x) \geqslant 0 时,f(x) \geqslant g(x)
$$

$$
D. 当 f^{”}(x) \geqslant 0 时,f(x) \leqslant g(x)
$$

解析

当 $x=0$ 时:

$$
g(0) = f(0) \cdot (1-0) + f(1) \cdot 0 = f(0).
$$

当 $x=1$ 时:

$$
g(1) = f(1) (1-1) + f(1) \cdot 1 = f(1).
$$

于是可知,在区间 $[0,1]$ 内,$f(x)$ 与 $g(x)$ 的图像是首尾相接的。

若 $f^{‘}(x) \geqslant 0$, 则 $f(x)$ 单调递增,此时,有:

$$
f(1) > f(0).
$$

又:

$$
g^{‘}(x) = f(0) (-1) + f(1)=
$$

$$
f(1) – f(0).
$$

故:

$$
g^{‘}(x) > 0.
$$

因此,此时 $g(x)$ 也是一个增函数。

但是,由两个函数都是增函数并无法判断出谁大谁小,因此,$A$, $B$ 两项错误。

若 $f^{”}(x) \geqslant 0$, 则表明 $f(x)$ 是一个凹曲线。

又:

$$
g^{”}(x) = [f(1) – f(0)]^{‘} = 0.
$$

因此,$g(x)$ 是一条直线。

于是,可以判断出,此时,有:

$$
g(x) \geqslant f(x).
$$

注意:考研真题中很少(几乎没有)在题目中给出多余的不需要的条件,基本上题目中给的每个条件在解题时都能用到。而在本题中,题目中明确提到“$f(x)$ 具有二阶导数”,因此,想解出本题很可能要涉及二阶导,由此可以基本排除(做题时不优先判断)不涉及二阶导的 $A$, $B$ 两项。

综上可知,正确选项为 $D$.

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