题目
下列曲线有渐近线的是 $?$
$$
A. y = x + \sin x
$$
$$
B. y = x^{2} + \sin x
$$
$$
C. y = x + \sin \frac{1}{x}
$$
$$
D. y = x^{2} + \sin \frac{1}{x}
$$
解析
求渐近线时，为了使工作量最小，应该遵循“先垂直，再水平，后倾斜”的顺序。因为没有无定义的点就没有垂直渐近线，判断是否有垂直渐近线最快速，应该首先判断。但是，如果存在倾斜渐近线，则求解过程一般较复杂，应该最后判断或计算。
垂直渐近线：
$A$, $B$ 两项对应的式子没有无定义的点，因此不会存在垂直渐近线。
$C$ 项无定义的点为 $0$, 则：
$$
\lim_{x \rightarrow 0} (x + \sin \frac{1}{x}) =
$$
$$
0 + \sin (\infty) = 0 + 震荡值 \Rightarrow
$$
$$
无极限 \Rightarrow 无垂直渐近线
$$
$D$ 项无定义的点为 $0$, 则：
$$
\lim_{x \rightarrow 0} (x^{2} + \sin \frac{1}{x}) =
$$
$$
0 + \sin (\infty) =0 + 震荡值 \Rightarrow
$$
$$
无极限 \Rightarrow 无垂直渐近线
$$
综上，这四个式子都没有垂直渐近线。
水平渐近线：
由于这四个式子中，每个式子都加了一个 $x$ 或者 $x^{2}$, 因此，当 $x \rightarrow \infty$ 时，每个式子都是趋于无穷的，因此，这四个式子都没有水平渐近线。
注意：在 $x$ 轴的一侧有水平渐近线就不会在同侧存在倾斜渐近线，但一侧有水平渐近线不影响另一侧存在倾斜渐近线。同样地，在 $x$ 轴的一侧存在倾斜渐近线就不会在同侧存在水平渐近线，但一侧有倾斜渐近线不影响另一侧存在水平渐近线。
倾斜渐近线：
由题知：
$$
A: \lim_{x \rightarrow \infty} (1 + \frac{\sin x}{x}) = 1.
$$
$$
B: \lim_{x \rightarrow \infty} (x + \frac{\sin x}{x}) = \infty.
$$
$$
C: \lim_{x \rightarrow \infty} (1 + \frac{\sin \frac{1}{x}}{x}) = 1.
$$
$$
D: \lim_{x \rightarrow \infty} (x + \frac{\sin \frac{1}{x}}{x}) = \infty.
$$
又：
$$
A: \lim_{x \rightarrow \infty} (x + \sin x – 1 \cdot x) = 震荡值.
$$
$$
C: \lim_{x \rightarrow \infty} (x + \sin \frac{1}{x} – 1 \cdot x) = 0.
$$
所以，$C$ 项的式子存在倾斜渐近线，该倾斜渐近线为：
$$
y = x.
$$
综上可知，正确选项为 $C$.
EOF