2014年考研数二第02题解析

题目

下列曲线有渐近线的是 $?$

$$A.y=x+\sin x$$

$$B.y=x^2+\sin x$$

$$C.y=x+\sin \frac{1}{x}$$

$$D.y=x^2+\sin \frac{1}{x}$$

解析

求渐近线时，为了使工作量最小，应该遵循“先垂直，再水平，后倾斜”的顺序。因为没有无定义的点就没有垂直渐近线，判断是否有垂直渐近线最快速，应该首先判断。但是，如果存在倾斜渐近线，则求解过程一般较复杂，应该最后判断或计算。

垂直渐近线：

$A$, $B$ 两项对应的式子没有无定义的点，因此不会存在垂直渐近线。

$C$ 项无定义的点为 $0$, 则：

$$\underset{x\to 0}{lim}(x+\sin \frac{1}{x})=$$

$$0+\sin (\mathrm{\infty })=0+\mathrm{震}\mathrm{荡}\mathrm{值}\Rightarrow$$

$$\mathrm{无}\mathrm{极}\mathrm{限}\Rightarrow \mathrm{无}\mathrm{垂}\mathrm{直}\mathrm{渐}\mathrm{近}\mathrm{线}$$

$D$ 项无定义的点为 $0$, 则：

$$\underset{x\to 0}{lim}(x^2+\sin \frac{1}{x})=$$

$$0+\sin (\mathrm{\infty })=0+\mathrm{震}\mathrm{荡}\mathrm{值}\Rightarrow$$

$$\mathrm{无}\mathrm{极}\mathrm{限}\Rightarrow \mathrm{无}\mathrm{垂}\mathrm{直}\mathrm{渐}\mathrm{近}\mathrm{线}$$

综上，这四个式子都没有垂直渐近线。

水平渐近线：

由于这四个式子中，每个式子都加了一个 $x$ 或者 $x^2$, 因此，当 $x\to \mathrm{\infty }$ 时，每个式子都是趋于无穷的，因此，这四个式子都没有水平渐近线。

注意：在 $x$ 轴的一侧有水平渐近线就不会在同侧存在倾斜渐近线，但一侧有水平渐近线不影响另一侧存在倾斜渐近线。同样地，在 $x$ 轴的一侧存在倾斜渐近线就不会在同侧存在水平渐近线，但一侧有倾斜渐近线不影响另一侧存在水平渐近线。

倾斜渐近线：

由题知：

$$A:\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}(1+\frac{\sin x}{x})=1.$$

$$B:\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}(x+\frac{\sin x}{x})=\mathrm{\infty }.$$

$$C:\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}(1+\frac{\sin \frac{1}{x}}{x})=1.$$

$$D:\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}(x+\frac{\sin \frac{1}{x}}{x})=\mathrm{\infty }.$$

又：

$$A:\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}(x+\sin x–1\cdot x)=\mathrm{震}\mathrm{荡}\mathrm{值}.$$

$$C:\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}(x+\sin \frac{1}{x}–1\cdot x)=0.$$

所以，$C$ 项的式子存在倾斜渐近线，该倾斜渐近线为：

$$y=x.$$

综上可知，正确选项为 $C$.

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