题目
设封闭曲线 $L$ 的极坐标方程 $r = \cos 3 \theta$, $(-\frac{\pi}{6} \leqslant \theta \leqslant \frac{\pi}{6})$, 则 $L$ 所围平面图形的面积是 $?$
解析
极坐标下平面图形面积的计算公式为：
$$
S = \frac{1}{2} \int_{\alpha}^{\beta} [r_{2}^{2}(\theta) – r_{1}^{2}(\theta)] d \theta.
$$
于是：
$$
S =
$$
$$
\frac{1}{2} \int_{-\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{6}} [\cos 3 \theta]^{2} d \theta =
$$
$$
\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} \int_{-\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{6}} [\cos 3 \theta]^{2} d (3 \theta) =
$$
为了使计算方便，这里令 $t = 3 \theta$. 这里需要特别注意的一点是，积分变量由 $3 \theta$ 变成 $t$ 之后，积分区间也要由 $[-\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{6}]$ 变成 $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, 这一点极易忘记从而导致错误，因此，要特别注意。
$$
\frac{1}{6} \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos^{2}t dt.
$$
又：
$$
\cos 2 \theta = 2 \cos^{2} \theta – 1 \Rightarrow
$$
$$
\cos^{2} \theta = \frac{\cos 2 \theta + 1}{2} = \frac{1}{2} [\cos 2 \theta + 1].
$$
于是：
$$
\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{2} \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} (\cos 2 t + 1) dt =
$$
$$
\frac{1}{12} [\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos 2t dt + \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} 1 dt] =
$$
$$
\frac{1}{12} [\frac{1}{2}(\sin 2t) |_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} + \pi] =
$$
$$
\frac{1}{12} [\frac{1}{2}(0-0) + \pi] =
$$
$$
\frac{\pi}{12}.
$$
综上可知，正确答案为 $\frac{\pi}{12}$.
EOF