2013年考研数二第01题解析

题目

设 $\cos x – 1 = x \sin a(x)$, 其中,$|a(x)| < \frac{\pi}{2}$, 则当 $x \rightarrow 0$ 时,$a(x)$ 是 $?$

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A. 比 x 高阶的无穷小
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B. 比 x 低阶的无穷小
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$$
C. 与 x 同阶但不等价的无穷小
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D. 与 x 等价的无穷小
$$

解析

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1 – \cos x \sim \frac{1}{2}x^{2} \Rightarrow
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\cos x – 1 \sim – \frac{1}{2}x^{2} \Rightarrow
$$

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x \sin a(x) \sim – \frac{1}{2}x^{2} \Rightarrow
$$

$$
\sin a(x) \sim -\frac{1}{2}x.
$$

又:

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\sin a(x) \sim a(x) \Rightarrow
$$

$$
a(x) \sim – \frac{1}{2}x.
$$

于是,$a(x)$ 是与 $x$ 同阶但不等价的无穷小。

综上可知,正确选项为 $C$.

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