2014年考研数二第01题解析

题目

当 $x\to 0^{+}$ 时，若 ${\ln }^a(1+2a)$, $(1-\cos x{)}^{\frac{1}{a}}$ 均是比 $x$ 高阶的无穷小，则 $a$ 的取值范围是 $?$

$$A.(2,+\mathrm{\infty })$$

$$B.(1,2)$$

$$C.(\frac{1}{2},1)$$

$$D.(0,\frac{1}{2})$$

解析

$$\ln (1+2x)\sim 2x\Rightarrow$$

$${\ln }^a(1+2x)\sim (2x{)}^a.$$

$$(1–\cos x)\sim \frac{1}{2}{x}^2\Rightarrow$$

$$(1–\cos x{)}^{\frac{1}{a}}\sim \frac{1}{2}{x}^{\frac{2}{a}}.$$

为了使上面两个式子成为比 $x$ 高阶的无穷小，则必须有：

$$a>1;$$

$$\frac{2}{a}>1\Rightarrow a<2.$$

于是，$a$ 的取值范围是：

$$2>a>1.$$

综上可知，正确选项为 $B$.

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