2008 年研究生入学考试数学一解答题第 1 题解析（两种方法+手写作答）

一、题目

求极限 $\underset{x\to 0}{lim}$ $\frac{[\sin x-\sin (\sin x)]\sin x}{x^4}$

二、解析

当题目中要求的是“极限”，而且出现了 $x$ $\to$ $0$ 时就要考虑是不是要用到或者可以用到等价无穷小。

还需要考虑的可能用到的知识是洛必达法则。当 $x$ $\to$ $0$ 时可能产生 $\frac{0}{0}$ 型的洛必达或者 $\frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}$ 型的洛必达。而且，洛必达法则就是为求极限而生的，可以把对函数的求极限转换成对函数的导数求极限，从而可能化简原式。

方法一

本题考查的是等价无穷小，需要用到的两个等价无穷小如下（当 $x$ $\to$ $0$ 时）：

$x$ $\sim$ $\sin x$;

$x$ $-$ $\sin x$ $\sim$ $\frac{1}{6}{x}^3$.

于是有：

原式 $=$ $\underset{x\to 0}{lim}$ $\frac{[\sin x-\sin (\sin x)]\sin x}{{\sin }^{4}x}$ $=$ $\underset{x\to 0}{lim}$ $\frac{\sin x-\sin (\sin x)}{{\sin }^{3}x}$

令 $\sin x$ $=$ $t$, 则有：

原式 $=$ $\underset{x\to 0}{lim}$ $\frac{t-\sin (t)}{t^3}$

由于，当 $x$ $\to$ $0$ 时，$\sin x$ $\to$ $0$, 于是有 $t$ $\to$ $0$, 因此根据常见的等价无穷小，有：

$t$ $-$ $\sin t$ $\sim$ $\frac{1}{6}{t}^3$

因此有：

原式 $=$ $\underset{x\to 0}{lim}$ $\frac{\frac{1}{6}{t}^3}{t^3}$ $=$ $\frac{1}{6}$

方法二

本题也可以结合使用等价无穷小与 $\frac{0}{0}$ 型洛必达等定理解出。

需要用到的等价无穷小有（当 $x$ $\to$ $0$ 时）：

$x$ $\sim$ $\sin x$;

$1$ $-$ $\cos x$ $\sim$ $\frac{1}{2}{x}^2$

需要用到的洛必达法则公式是：

$\underset{x\to x_0}{lim}$ $\frac{f(x)}{g(x)}$ $=$ $\underset{x\to 0}{lim}$ $\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$

需要用到的求导规则是：

$(\sin x{)}^{\prime }$ $=$ $\cos x$;

$(u-v{)}^{\prime }$ $=$ $u^{\prime }$ $-$ $v^{\prime }$;

$f^{\prime }(x)$ $=$ $f^{\prime }[g(x)]$ $g^{\prime }(x)$.

解答思路如下：

由于，当 $x$ $\to$ $0$ 时，$\sin x$ $\sim x$, 于是有：

原式 $=$ $\underset{x\to 0}{lim}$ $\frac{[\sin x-\sin (\sin x)]\sin x}{x^3\sin x}$ $=$ $\underset{x\to 0}{lim}$ $\frac{\sin x-\sin (\sin x)}{x^3}$ (1)

由于，当 $x$ $\to$ $0$ 时，有：

$\sin x$ $-$ $\sin (\sin x)$ $\to$ $0$, 且存在导数;

$x^3$ $\to$ $0$, 且存在导数.

因此，可以对 (1) 式使用洛必达法则：

原式 $=$ $\underset{x\to 0}{lim}$ $\frac{[\sin x-\sin (\sin x){]}^{\prime }}{(x^3{)}^{\prime }}$ $=$ $\underset{x\to 0}{lim}$ $\frac{\cos x-\cos (\sin x)\cos x}{3x^2}$

化简得：

原式 $=$ $\underset{x\to 0}{lim}$ $\frac{\cos [1-\cos (\sin x)]}{3x^2}$

由于，当 $x$ $\to$ $0$ 时，$\cos x$ $\to$ $1$, 因此，进一步化简得：

原式 $=$ $\underset{x\to 0}{lim}$ $\frac{1-\cos (\sin x)}{3x^2}$

使用等价无穷小进一步计算可得：

原式 $=$ $\underset{x\to 0}{lim}$ $\frac{\frac{1}{2}{\sin }^{2}x}{3x^2}$ $=$ $\frac{\frac{1}{2}}{3}$ $=$ $\frac{1}{6}$

方法一的手写作答：

方法二的手写作答：

EOF